网络流-费用流常见模型

二分图最大权匹配

问题

选择一些边，如果满足任意两条边都没有公共端点，那么这些边被称为二分图的一组匹配。二分图最大权匹配就是寻找所有的二分图的匹配中权最大的，注意权最大是第一关键字，而是否是匹配最多的无关紧要。

求解方法

首先，在图中新增源点 \(S\) 与汇点 \(T\)。从 \(S\) 的每个做部分开始连接一条流量为 \(1\) 的边，其费用为 \(0\)。从每一个二分图右侧的节点连一条流量为 \(1\) 的边到 \(T\)，其费用同样为 \(0\)。

接下来，如果二分图原本有一条边 \(x\to y\) 的边权为 \(w\) 的边，那么就从 \(x\) 连一条流量为 \(1\) 费用为 \(w\) 的边到 \(y\)。

但是如果直接跑一个最大费用最大流是错误的，因为最大费用最大流是在满足最大流的基础上求解的，但是流量最大其权并不一定是最大的，与二分图最大权匹配的要求权最大相矛盾。

因为对于所有的左部节点，还需要连接一条有这个节点到 \(T\) 的边，流量为 \(1\)，费用为 \(0\)。再求解这个图的费用流即可得到答案。