网络流-最小割常见模型

最多限制相交路径

问题

已知一些路径，每一个节点可以属于多个路径，但是属于路径的数量不得超过一个给定的上限。

解决方法

将 \(1\) 个节点拆为 \(2\) 个，接着进行连边，其中容量代表可以经过的路径。

最大权闭合图

定义

如果一个点集满足其中任意元素可以到达的所有元素都在集合中，那么这个点集中的节点可以经过的边和节点构成的图被称为闭合图。最大权闭合图指对于所有的闭合图，点权和最大的图就是最大权闭合图。

对于下图，最大权闭合图为 \(\{2,4,5\}\)，其权值为 \(6\)。

求解方法

新建源点 \(S\) 与汇点 \(T\)，让 \(S\) 向所有点权为正的节点连一条容量为点权的边，接着让所有点权为负的点向 \(T\) 连一条容量为点权的绝对值的边。在将图中原有的边设为无穷大之后，求出最小割。

有定理：\(\text{最大权闭合图}=\text{所有正点权和}-\text{最小割}\)。

证明

通过上述方式构造，最小割中的所有边均与 \(S\) 或者 \(T\)，因为其他的点均被设置为了无穷大，肯定不会选择。

假设在删除割之后，\(S\) 可以到大的点为图 \(A\)，在图 \(A\) 中删除与 \(S\) 相连的边与 \(S\) 节点后构成的图 \(A'\) 就是一个最大权闭合图。

设割集中，连接到点 \(S\) 的点权和为 \(x_1\)，连接到点 \(T\) 的点权和为 \(x_2\)，割集的和为 \(X=1+x_2\)。设图 \(A'\) 所有点的点权和为 \(W\)，其中正权和为\(w_1\)，负权和为\(-w_2\)，有\(W=w_1+w_2\)。
则 \(W+X=w_1-w_2+x_1+2\)，其中 \(w_2=c_2\)，因为图 \(A'\) 所有负权点都连接到 \(T\)，而为了保证 \(A'\) 中的点都不与 \(T\) 连通，这些负权点与 \(T\) 相连的边都删除了，在割集中。

得到 \(W+X=w_1+1\)，移项有 \(W=(w_1+x_1)-X\)，其中 \(w_1+x_1\) 为所有正权点之和，要想 \(W\) 最大，那么 \(X\) 最小，则 \(X\) 为最小割。

最小点权覆盖集

问题

在图中选取一些点，满足图中每条边连接的两个点中，至少一个被选择，求所选取的点最小权值和。

求解方法

首先对图进行二分染色，将点分为左部分和右部分。新建源点 \(S\) 和汇点 \(T\)，\(S\) 向左部节点连边，容量为点权，右部向 \(T\) 连边，容量为点权，图中原有边的容量设为无穷大。对新图求解最小割就是最小点权覆盖集。

证明

对于任意一条从 \(S\) 到 \(T\) 的路径，一定存在一条边被割断，而且因为原图对应的边容量为无穷大，因此割边必然存在于 \(S\) 与左部节点之间或者右部节点与 \(T\) 之间，对应的流量便是选取的最小点权。

在图中选取一些点，满足图中每条边连接的两个点中，至多一个被选择，求所选取的点最大权值和。

定理：\(\text{最大权独立集}=\text{所有点权值和}-\text{最小点权覆盖集}\)

证明：因为点权覆盖集对于原图的点集的补集即为点权独立集，而点集的点权之和为常数，所以当点权覆盖集最小时，点权独立集最大，对应的答案即为所有点权值和-最小点权覆盖集。