数论前置知识

欧拉函数

欧拉函数记作 \(\varphi(n)\) 表示在 \(n\) 一下的正整数中，有多少个数与 \(n\) 互质。

欧拉函数满足以下性质：

1. \(\varphi(p)=p-1\)，其中 \(p\) 为质数。
2. 欧拉函数是积性函数，也就是对于 \(a\perp b\) 满足 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\cdot \varphi(n)\)。
3. \(\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n\)。

狄利克雷卷积

对于两个函数 \(f\) 和 \(g\)，他们的狄利克雷卷积的定义如下：

\[f(x)*g(x)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)\cdot g(\dfrac{n}{d})=\sum\limits_{ab=n}f(a)\cdot g(b) \]

狄利克雷卷积满足以下性质：

1. 交换律：\(f*g=g*f\)
2. 结合律：\(f*g*h=f*(g*h)\)
3. 分配律：\(f*(g+h)=f*g+f*h\)

函数 \(\varepsilon(n)=[n=1]\)，它是狄利克雷卷积的单位函数，任意函数都满足 \(f(x)*\varepsilon(x)=f(x)\)。

对于函数 \(f(x)\ne 0\) 的，如果 \(g*f=\varepsilon\)，那么称 \(g\) 为 \(f\) 的逆元。

重要性质：

1. 两个积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。
2. 积性函数的逆元还是积性函数。

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数 \(\mu(n)\) 为莫比乌斯函数，其定义如下：

\[\mu(n)= \left\{\begin{matrix} 1 & n=1\\ 0 & n\text{ 含有平方因子}\\ (-1)^k & k\text{ 为 }n\text{ 本质不同的因子个数} \end{matrix}\right.\]

莫比乌斯函数有以下性质：

\[\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=[n=1] \]

可以转化成：

\[\sum\limits_{d\mid n}\mu(n)=\varepsilon (n),\mu*1=\varepsilon \]

设 \(f(n)\) 和 \(g(n)\) 为两个数论函数，那么：

\[g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\cdot f(\frac{n}{d}) \]

还有：

\[g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})\cdot f(d) \]

阶

由欧拉定理可知，对 \(a\in \mathbf{Z}\)，\(m\in\mathbf{N}^{*}\)，若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\).

因此满足同余式 \(a^n \equiv 1 \pmod m\) 的最小正整数 \(n\) 存在，这个 \(n\) 称作 \(a\) 模 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\) 或 \(\operatorname{ord}_m(a)\).

阶有以下性质：

1. \(a,a^2,\cdots,a^{\delta_m(a)}\) 模 \(m\) 两两不同余。
2. 若 \(a^n \equiv 1 \pmod m\)，则 \(\delta_m(a)\mid n\).
3. 设 \(m\in\mathbf{N}^{*}\)，\(a,b\in\mathbf{Z}\)，\((a,m)=(b,m)=1\)，则 \(\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b),\left(\delta_m(a), \delta_m(b)\right)=1\)。
4. 设 \(k \in \mathbf{N}\)，\(m\in \mathbf{N}^{*}\)，\(a\in\mathbf{Z}\)，\((a,m)=1\)，则 \(\delta_m(a^k)=\dfrac{\delta_m(a)}{\left(\delta_m(a),k\right)}\)。

原根

设 \(m \in \mathbf{N}^{*}\)，\(g\in \mathbf{Z}\). 若 \((g,m)=1\)，且 \(\delta_m(g)=\varphi(m)\)，则称 \(g\) 为模 \(m\) 的原根。

即 \(g\) 满足 \(\delta_m(g) = \left| \mathbf{Z}_m^* \right| = \varphi(m)\). 当 \(m\) 是质数时，我们有 \(g^i \bmod m,\,0 \lt i \lt m\) 的结果互不相同。

设 \(m \geqslant 3, \gcd(g,m)=1\)，则 \(g\) 是模 \(m\) 的原根的充要条件是，对于 \(\varphi(m)\) 的每个素因数 \(p\)，都有 \(g^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv 1\pmod m\).

若一个数 \(m\) 有原根，则它原根的个数为 \(\varphi(\varphi(m))\).

一个数 \(m\) 存在原根当且仅当 \(m=2,4,p^{\alpha},2p^{\alpha}\)，其中 \(p\) 为奇素数，\(\alpha\in \mathbf{N}^{*}\).