数论前置知识

欧拉函数

欧拉函数记作 $\phi (n)$ 表示在 $n$ 一下的正整数中，有多少个数与 $n$ 互质。

欧拉函数满足以下性质：

1. $\phi (p)=p-1$，其中 $p$ 为质数。
2. 欧拉函数是积性函数，也就是对于 $a\perp b$ 满足 $\phi (ab)=\phi (a)\cdot \phi (n)$。
3. $\sum _{d\mid n}\phi (d)=n$。

狄利克雷卷积

对于两个函数 $f$ 和 $g$，他们的狄利克雷卷积的定义如下：

$$f(x)\ast g(x)=\sum _{d\mid n}f(d)\cdot g({\displaystyle \frac{n}{d}})=\sum _{ab=n}f(a)\cdot g(b)$$

狄利克雷卷积满足以下性质：

1. 交换律：$f\ast g=g\ast f$
2. 结合律：$f\ast g\ast h=f\ast (g\ast h)$
3. 分配律：$f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h$

函数 $\epsilon (n)=[n=1]$，它是狄利克雷卷积的单位函数，任意函数都满足 $f(x)\ast \epsilon (x)=f(x)$。

对于函数 $f(x)\ne 0$ 的，如果 $g\ast f=\epsilon$，那么称 $g$ 为 $f$ 的逆元。

重要性质：

1. 两个积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。
2. 积性函数的逆元还是积性函数。

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数 $\mu (n)$ 为莫比乌斯函数，其定义如下：

$$\mu (n)=\{\begin{array}{cc}1& n=1\\ 0& n\text{ 含有平方因子}\\ (-1{)}^k& k\text{ 为 }n\text{ 本质不同的因子个数}\end{array}$$

莫比乌斯函数有以下性质：

$$\sum _{d\mid n}\mu (d)=[n=1]$$

可以转化成：

$$\sum _{d\mid n}\mu (n)=\epsilon (n),\mu \ast 1=\epsilon$$

设 $f(n)$ 和 $g(n)$ 为两个数论函数，那么：

$$g(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\cdot f(\frac{n}{d})$$

还有：

$$g(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})\cdot f(d)$$

阶

由欧拉定理可知，对 $a\in \mathbf{Z}$，$m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，若 $gcd(a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$.

因此满足同余式 $a^n\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 的最小正整数 $n$ 存在，这个 $n$ 称作 $a$ 模 $m$ 的阶，记作 ${\delta }_m(a)$ 或 ${\mathrm{ord}}_m(a)$.

阶有以下性质：

1. $a,a^2,\cdots ,a^{{\delta }_m(a)}$ 模 $m$ 两两不同余。
2. 若 $a^n\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，则 ${\delta }_m(a)\mid n$.
3. 设 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a,b\in \mathbf{Z}$，$(a,m)=(b,m)=1$，则 ${\delta }_m(ab)={\delta }_m(a){\delta }_m(b),({\delta }_m(a),{\delta }_m(b))=1$。
4. 设 $k\in \mathbf{N}$，$m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a\in \mathbf{Z}$，$(a,m)=1$，则 ${\delta }_m(a^k)={\displaystyle \frac{{\delta }_m(a)}{({\delta }_m(a),k)}}$。

原根

设 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$g\in \mathbf{Z}$. 若 $(g,m)=1$，且 ${\delta }_m(g)=\phi (m)$，则称 $g$ 为模 $m$ 的原根。

即 $g$ 满足 ${\delta }_m(g)=\left|{\mathbf{Z}}_m^{\ast }\right|=\phi (m)$. 当 $m$ 是质数时，我们有 $g^{i}modm,0<i<m$ 的结果互不相同。

设 $m⩾3,gcd(g,m)=1$，则 $g$ 是模 $m$ 的原根的充要条件是，对于 $\phi (m)$ 的每个素因数 $p$，都有 $g^{\frac{\phi (m)}{p}}\not\equiv 1(\mathrm{mod}m)$.

若一个数 $m$ 有原根，则它原根的个数为 $\phi (\phi (m))$.

一个数 $m$ 存在原根当且仅当 $m=2,4,p^{\alpha },2p^{\alpha }$，其中 $p$ 为奇素数，$\alpha \in {\mathbf{N}}^{\ast }$.