错排问题

定义

考虑一个有 \(n\) 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。

\(n\) 个元素的错排数记为 \(D(n)\)

公式

\(D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))\)

其中 \(D(0)=1,D(1)=0\)

考虑当前放到了第 \(n\) 个元素，那么这个元素肯定不能放到第 \(n\) 个位置上

也就是说，这个元素可以放到除了第 \(n\) 个位置以外的 \(n-1\) 个位置上

假设第 \(n\) 个元素放到了第 \(i\) 个位置上

那么原来第 \(i\) 个位置上的元素就必须放到其它的位置上

如果这个元素放到了第 \(n\) 个位置上

就相当于位置 \(n\) 和位置 \(i\) 的元素交换，其它的元素不动，也就是一个 \(n-2\) 规模的错排问题

如果这个元素放到了除了第 \(n\) 个位置和第 \(i\) 个位置以外的 \(n-2\) 个位置中的一个

那么不去考虑放在第 \(i\) 个位置的第 \(n\) 个元素

就相当于一个 \(n-1\) 规模的错排问题

只不过把第 \(i\) 个元素不能放到第 \(i\) 个位置上改为了第 \(i\) 个元素不能放到第 \(n\) 个位置上