回文自动机学习笔记

概述

回文自动机 \((PAM)\)，也叫回文树

可以用 \(O(n)\) 的时间复杂度求出一个字符串的所有回文子串

构建

回文自动机每个节点表示在它的父节点两侧各加上一个儿子字符

每个节点要记录一个 \(fail\) 指针，代表当前节点的最长回文后缀

因为回文串有奇回文串和偶回文串之分

所以回文自动机有两个初始状态 \(-1\) 和 \(0\)

分别代表所有奇回文串的根和所有偶回文串的根

偶根的 \(fail\) 指针指向奇根，而我们并不关心奇根的 \(fail\) 指针

因为奇根不可能失配（奇根转移出的下一个状态长度为 \(1\)，即单个字符。一定是回文子串）

构建的时候采用增量法构建

考虑构造完前 \(p-1\) 个字符的回文自动机后，添加在原串里位置为 \(p\) 的字符

看一下上一次插入的节点左边能否扩展出位置 \(p\) 的字符

如果不能就一直跳 \(fail\) 指针

扩展成功之后建立父子关系

求新的节点的 \(fail\) 指针时由要由父亲节点的 \(fail\) 指针向外扩展

而不能由父亲节点向外扩展

否则一个节点的 \(fail\) 指针就指向自己了

并且这个过程要在建立新点之前

代码

P5496 【模板】回文自动机（PAM）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rg register
const int maxn=5e5+10;
char s[maxn];
int len;
struct PAM{
	struct asd{
		int ch[28],siz,fail,len;
	}tr[maxn];
	int cnt;
	void build(){
		cnt=0;
		tr[cnt].fail=1;
		tr[++cnt].len=-1;
	}
	int getfail(rg int da,rg int now){
		while(s[now]!=s[now-tr[da].len-1]) da=tr[da].fail;
		return da;
	}
	int insert(rg int lst,rg int now,rg int p){
		rg int da=getfail(lst,now);
		if(!tr[da].ch[p]){
			cnt++;
			tr[cnt].fail=tr[getfail(tr[da].fail,now)].ch[p];
			tr[cnt].siz=tr[tr[cnt].fail].siz+1;
			tr[cnt].len=tr[da].len+2;
			tr[da].ch[p]=cnt;
		}
		return tr[da].ch[p];
	}
}pam;
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	len=strlen(s+1);
	pam.build();
	s[0]=-1;
	rg int lat=0,k=0;
	for(rg int i=1;i<=len;i++){
		s[i]=(s[i]-97+k)%26;
		lat=pam.insert(lat,i,s[i]);;
		printf("%d ",k=pam.tr[lat].siz);
	}
	printf("\n");
	return 0;
}

例题

P5555 秩序魔咒

题目传送门

对两个字符串分别建立回文自动机

然后分别从奇根和偶根开始进行 \(dfs\) ，求出两个回文自动机重合的部分中 \(len\) 最大的字符串

CF17E Palisection

题目传送门

正难则反

可以用总的回文串的对数减去不相交的回文串的对数

那么答案就是 \(\sum_{i=1}^n以i结尾的回文串个数 \times i 后面的回文串个数\)

以 \(i\) 结尾的回文串的个数就是 \(i\) 所代表的点在 \(fail\) 树上的深度

\(i\) 后面的回文串个数可以把原串反过来用后缀和记录一下

P4287 [SHOI2011]双倍回文

题目传送门

在回文自动机上维护一个 \(trans\) 数组代表长度小于等于 \(\frac{len}{2}\) 的最长回文后缀

求法和 \(fail\) 指针的求法类似

最后统计一下 \(trans\) 数组的贡献即可