四边形不等式优化dp

内容

形如 \(f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]),k\in[i,j-1]\) 的转移方程

如果满足 \(w[i][j]+w[i+1][j+1]\le w[i][j+1]+w[i+1][j]\)

并且 \(f[i][j]+f[i+1][j+1]\le f[i][j+1]+f[i+1][j]\)

即 \(w\) 函数和 \(f\) 函数同时满足四边形不等式，也就是交叉小于包含

设 \(s[i][j]\) 为 \(f[i][j]\) 的最优决策点，则有 \(s[i][j-1]\le s[i][j]\le s[i+1][j]\)

枚举决策点的范围就可以大大减少

可以把 \(dp\) 的时间复杂度从 \(n^3\) 优化为 \(n^2\)

应用

一般来说，如果有一个 \(n^3\) 的 \(dp\)做法满足上面的形式并且该题 \(n^2\) 可过，都可以考虑用四边形不等式去优化

如果不会证明可以打表或者对拍

有两种形式的 \(dp\) 经常用到此类优化

一种是类似于石子合并的区间 \(dp\)

设 \(f[l][r]\) 为区间 \([l,r]\) 中的最小值

比如 P1880 [NOI1995] 石子合并

另一种是分组 \(dp\)

设 \(f[i][j]\) 为前 \(i\) 物品分为 \(j\) 组的最小价值

比如 CF321E P4767 [IOI2000]邮局

代码(CF321E)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=4e3+5;
int n,m,a[maxn][maxn],sum[maxn][maxn],f[maxn][maxn],w[maxn][maxn],g[maxn][maxn];
int main(){
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	n=read(),m=read();
	for(rg int i=1;i<=n;i++){
		for(rg int j=1;j<=n;j++){
			a[i][j]=read();
		}
	}
	for(rg int i=1;i<=n;i++){
		for(rg int j=1;j<=n;j++){
			sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
		}
	}
	for(rg int i=1;i<=n;i++){
		for(rg int j=1;j<i;j++){
			w[j][i]=(sum[i][i]-sum[i][j-1]-sum[j-1][i]+sum[j-1][j-1])>>1;
		}
	}
	f[0][0]=0;
	for(rg int i=0;i<=m;i++) g[n+1][i]=n;
	for(rg int j=1;j<=m;j++){
		for(rg int i=n;i>=1;i--){
			for(rg int k=g[i][j-1];k<=g[i+1][j];k++){
				if(f[i][j]>f[k][j-1]+w[k+1][i]){
					f[i][j]=f[k][j-1]+w[k+1][i];
					g[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}
	printf("%d\n",f[n][m]);
	return 0;
}