原根学习笔记

阶

阶的定义

设 \(m>1\)，且 \(gcd(a,m)=1\)，那么使得\(a^r\equiv 1(modm)\)成立的最小的正整数\(r\)称为\(a\)对模\(m\)的阶，记为\(\delta m(a)\)

阶的性质

定理一：若 \(m>1\) 并且 \(gcd(a,m)=1\)，又满足 \(a^n \equiv 1(modm)\)，那么 \(\delta m(a)|n\)

定理二：\(\delta m(a)|\varphi(m)\)

原根

原根的定义

原根，是一个数学符号。设 \(m\) 是正整数，\(a\) 是整数，若 \(a\) 模 \(m\) 的阶等于 \(\varphi(m)\)，则称 \(a\)为模 \(m\) 的一个原根。

原根存在的条件

模 \({\displaystyle m}\) 有原根的充要条件是 \(m=2,4,p^k,2p^k\)，其中 \(p\) 是奇素数(除了 \(2\) 以外的所有素数)，\(k\) 是任意正整数。

原根的判定

若 \(g\) 为模 \(m\) 的原根，则对于任意 \(\varphi(m)\) 的质因子 \(p\)，必有 \(g^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv 1 \pmod m\)

求所有的原根

最小原根是不大于 \(\sqrt[4]{m}\) 级别的。

因此，不妨枚举 \([1,\sqrt[4]{m}]\) 的整数，得到最小原根 \(g\)。

再枚举 \(g^s\) 的指数 \(s\)，若 \(s\) 与 \(\varphi(m)\) 互质，则 \(g^s\bmod m\) 为一个原根。

由此可知，如果数 \(m\) 存在原根，则原根的个数为 \(\varphi(\varphi(m))\)

原根的性质

\(a^0,a^1,a^2,\cdots,a^{\delta m(a)−1 }\) 模 \(m\) 两两不同余，且 \(a^{k}\%m=a^{(k+\delta_m(a))}\%m\)

代码

洛谷P6091 【模板】原根

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=1e6+5;
bool not_pri[maxn];
int n,t,d,pri[maxn],phi[maxn];
void xxs(){
	not_pri[0]=not_pri[1]=1;
	phi[1]=1;
	for(rg int i=2;i<maxn;i++){
		if(!not_pri[i]){
			pri[++pri[0]]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(rg int j=1;j<=pri[0] && 1LL*i*pri[j]<maxn;j++){
			not_pri[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
		}
	}
}
bool jud(rg int now){
	if(now==2 || now==4) return 1;
	if(now%2==0) now/=2;
	for(rg int i=2;pri[i]<=now;i++){
		if(now%pri[i]==0){
			while(now%pri[i]==0){
				now/=pri[i];
			}
			return now==1;
		}
	}
	return 0;
}
int ksm(rg int ds,rg int zs,rg int mod){
	rg int nans=1;
	while(zs){
		if(zs&1) nans=1LL*nans*ds%mod;
		ds=1LL*ds*ds%mod;
		zs>>=1;
	}
	return nans;
}
int sta[maxn],tp,g,ans[maxn],tp2;
void divid(rg int now){
	rg int m=sqrt(now);
	tp=0;
	for(rg int i=2;i<=m;i++){
		if(now%i==0){
			sta[++tp]=i;
			while(now%i==0) now/=i;
		}
	}
	if(now>1) sta[++tp]=now;
}
int gcd(rg int aa,rg int bb){
	return (bb==0)?aa:gcd(bb,aa%bb);
}
bool pd;
int main(){
	xxs();
	t=read();
	while(t--){
		n=read(),d=read();
		if(jud(n)){
			divid(phi[n]);
			for(rg int i=1;;i++){
				pd=1;
				if(gcd(i,n)!=1) continue;
				for(rg int j=1;j<=tp;j++){
					if(ksm(i,phi[n]/sta[j],n)==1){
						pd=0;
						break;
					}
				}
				if(pd){
					g=i;
					break;
				}
			}
			rg int now=1;
			tp2=0;
			for(rg int i=1;tp2<phi[phi[n]];i++){
				now=1LL*now*g%n;
				if(gcd(phi[n],i)==1) ans[++tp2]=now;
			}
			std::sort(ans+1,ans+1+tp2);
			printf("%d\n",phi[phi[n]]);
			for(rg int i=1;i<=phi[phi[n]]/d;i++){
				printf("%d ",ans[i*d]);
			}
			printf("\n");
		} else {
			printf("0\n\n");
		}
	}
	return 0;
}