那一天她离我而去 二进制分组建图
那一天她离我而去 二进制分组建图
题目描述
她走的悄无声息，消失的无影无踪。
至今我还记得那一段时间，我们一起旅游，一起游遍山水。到了最
终的景点，她却悄无声息地消失了，只剩我孤身而返。
现在我还记得，那个旅游区可以表示为一张由\(n\)个节点\(m\)条边组成无向图。
我故地重游，却发现自己只想尽快地结束这次旅游。我从景区的出发点（即 \(1\) 号节点）出发，却只想找出最短的一条回路重新回到出发点，并且中途不重复经过任意一条边。
即：我想找出从出发点到出发点的小环。
输入格式
每个测试点有多组测试数据
第一行有一个正整数\(T,(T \leq 10)\)
表示数据组数
接下来对于每组数据，第一行有两个正整数\(n,m,(n \leq 10 ^4,m \leq 4 \times 10^4)\) 分别代表图的点数和边数
接下来有\(m\)行，每行三个整数 \(u,v,d\)表示\(u,v\)之间存在一条长度为\(d,(d \leq 10^3)\)的路径
保证不存在重边，自环。
输出格式
对于每组测试数据，输出题目中所求的最小环的长度。
无解输出 \(-1\)
样例
样例输入
2
3 3
1 2 1
2 3 1
3 1 1
4 5
1 2 2
2 3 2
3 4 2
1 4 2
1 3 5
样例输出
3
8
数据范围与提示
对于\(30\%\)的数据,\(n \leq 10^3,m\leq 4 \times 10^3\)
对于另外\(30\%\)的数据,\(n \leq 10^4,m=n\)
对于\(100\%\)的数据,\(n \leq 10^4,m\leq 5 \times 10^4\)
分析
一个暴力的思路是，将所有与起点相连的边删除，从这些相连的点跑到其他相连点的最短路尝试更新答案。
可以尝试优化这个暴力思路。
发现这个算法有一部分冗余，我们可以分组进行最短路。
因为任意两个不同的点，二进制一定至少存在一位不同。
我们以每个二进制位的\(0\),\(1\)进行分组，每组点组成的环一定被至少一次更新，于是可以达到目的。
复杂度 \(O(m log^2n)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cmath>
inline int read(){
int x=0,fh=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=2e5+5;
int t,head[maxn],tot=2,n,m,cnt,qd,zd;
struct asd{
int to,next,val;
}b[maxn];
void ad(int aa,int bb,int cc){
b[tot].to=bb;
b[tot].next=head[aa];
b[tot].val=cc;
head[aa]=tot++;
}
struct jie{
int num,jl;
jie(){}
jie(int aa,int bb){
num=aa,jl=bb;
}
bool operator < (const jie& A)const{
return jl>A.jl;
}
};
bool vis[maxn];
int dis[maxn];
void dij(int qd){
std::priority_queue<jie> q;
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(vis));
dis[qd]=0;
q.push(jie(qd,0));
while(!q.empty()){
int now=q.top().num;
q.pop();
if(now==zd) return;
if(vis[now]) continue;
vis[now]=1;
for(int i=head[now];i!=-1;i=b[i].next){
int u=b[i].to;
if(dis[u]>dis[now]+b[i].val){
dis[u]=dis[now]+b[i].val;
q.push(jie(u,dis[u]));
}
}
}
}
struct jl{
int bh,jz;
jl(){}
jl(int aa,int bb){
bh=aa,jz=bb;
}
}c[maxn];
int main(){
freopen("leave.in","r",stdin);
freopen("leave.out","w",stdout);
t=read();
while(t--){
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(&b,0,sizeof(b));
memset(&c,0,sizeof(c));
tot=2,cnt=0;
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
int aa,bb,cc;
aa=read(),bb=read(),cc=read();
if(aa>bb) std::swap(aa,bb);
if(aa==1) c[++cnt]=jl(bb,cc);
else {
ad(aa,bb,cc);
ad(bb,aa,cc);
}
}
int nans=0x3f3f3f3f,nn=n;
for(int i=1;i<=n;i<<=1){
qd=++nn,zd=++nn;
for(int j=1;j<=cnt;j++){
if(c[j].bh&i) ad(qd,c[j].bh,c[j].jz);
else ad(c[j].bh,zd,c[j].jz);
}
dij(qd);
nans=std::min(nans,dis[zd]);
}
if(nans==0x3f3f3f3f) printf("-1\n");
else printf("%d\n",nans);
}
return 0;
}
