概率与期望知识总结
概率与期望知识总结
一、概率
1、定义
概率,亦称“或然率”,它是反映随机事件出现的可能性 \((likelihood)\)大小。随机事件是指在相同条件下,可能出现也可能不出现的事件。例如,从一批有正品和次品的商品中,随意抽取一件,“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了\(n\)次试验与观察,其中\(A\)事件出现了\(m\)次,即其出现的频率为\(m/n\)。经过大量反复试验,常有\(m/n\)越来越接近于某个确定的常数(此论断证明详见伯努利大数定律)。该常数即为事件\(A\)出现的概率,常用\(P (A)\) 表示。
2、条件概率
事件\(B\)在事件\(A\)发生的条件下发生的概率=事件\(A\)和事件\(B\)同时发生的概率除以事件\(B\)发生的概率
\(P(A|B) = \frac{P(A\ \bigcap B)}{P(B)}\)
3、全概率公式
如果事件\(B1、B2、B3…Bn\) 构成一个完备事件组,即它们两两互不相容,其和为全集;并且\(P(Bi)\)大于\(0\),则对任一事件\(A\)有
\(P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)\)
公式看上去复杂,但其实思路很简单。
例如,参加比赛,得一等奖、二等奖、三等奖和优胜奖的概率分别为\(0.1、0.2、0.3\)和\(0.4\)
这\(4\)种情况下,你会被妈妈表扬的概率分别为\(1.0、0.8、0.5、0.1\)
则你被妈妈表扬的总概率为\(0.1 \times 1.0+0.2 \times 0.8+0.3 \times 0.5+0.4 \times 0.1=0.45\)
使用全概率公式的关键是“划分样本空间”,只有把所有可能情况不重复、不遗漏地进行分类,并算出每个分类下事件发生的概率,才能得出该事件发生的总概率。
4、贝叶斯公式
由英国数学家贝叶斯 \(( Thomas Bayes 1702-1761 )\) 发展,用来描述两个条件概率之间的关系,比如 \(P(A|B)\) 和 \(P(B|A)\)。
按照乘法法则,可以立刻导出:\(P(A∩B) = P(A) \times P(B|A)=P(B) \times P(A|B)\)
如上公式也可变形为:\(P(A|B)=P(B|A) \times P(A)/P(B)\)
将贝叶斯公式与全概率公式合在一起,还会得到下面的式子
二、期望
1、定义
在概率论和统计学中,数学期望\((mean)\)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
2、期望的线性性质
有限个随机变量之和的数学期望等于每个随机变量的数学期望之和
\(E(aX+bY)=a \times E(X)+b \times E(Y)\)