金题大战Vol.0 D、 二叉搜索树
金题大战Vol.0 D、 二叉搜索树
题目描述
有\(n\)个结点,第\(i\)个结点的权值为\(i\)。
你需要对它们进行一些操作并维护一些信息,因此,你需要对它们建立一棵二叉搜索树。在整个操作过程中,第\(i\)个点需要被操作\(x_i\)次,每次你需要从根结点一路走到第\(i\)个点,耗时为经过的结点数。最小化你的总耗时。
输入格式
第一行一个整数\(n\),第二行\(n\)个整数\(x1-xn\)。
输出格式
一行一个整数表示答案。
样例
样例输入
5
8 2 1 4 3
样例输出
35
数据范围与提示
对于\(10\%\)的数据,\(n<=10\)。
对于\(40\%\)的数据,\(n<=300\)。
对于\(70\%\)的数据,\(n<=2000\)。
对于\(100\%\)的数据,\(n<=5000,1<=x_i<=10^9\)。
提示:二叉搜索树或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树:若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;它的左、右子树也分别为二叉搜索树。
分析
我们可以这样想,在一个二叉搜索树中,一个节点左儿子的权值一定小于该节点的权值,一个节点右儿子的权值一定大于该节点的权值
因此,我们可以把连续的一段区间看成一个子树,枚举区间中的节点作为根节点
我们发现这就是一个区间\(DP\)
状态转移方程为 \(f[l][r]=f[l][k-1]+f[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1]\)
用四边形不等式可以优化到\(n^2\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e3+5;
typedef long long ll;
ll f[maxn][maxn],sum[maxn];
int g[maxn][maxn],a[maxn];
inline int read(){
register int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int main(){
freopen("D.in","r",stdin);
freopen("D.out","w",stdout);
register int n;
n=read();
for(register int i=1;i<=n;i++){
a[i]=read();
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
g[i][i]=i;
f[i][i]=a[i];
}
for(register int d=2;d<=n;d++){
for(register int l=1;l<=n-d+1;l++){
register int r=l+d-1;
f[l][r]=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
for(register int k=g[l][r-1];k<=g[l+1][r];k++){
if(f[l][r]>f[l][k-1]+f[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1]){
f[l][r]=f[l][k-1]+f[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1];
g[l][r]=k;
}
}
}
}
printf("%lld\n",f[1][n]);
return 0;
}