单调队列总结
定义
单调队列，即单调递减或单调递增的队列。
入门题(洛谷P1886滑动窗口)
题目描述
分析
如果用暴力求解的话，我们要将这一个长度为\(k\)的区间扫一遍
但是实际上，有很多值是显然不会对答案产生贡献的
比如我们要维护该区间的最大值，当前队尾的的元素是\(4\)，下一个要加进去的元素是\(5\)
此时队尾一定不会对答案产生贡献，因为它的值比下一个元素小，而且当前值继续对答案产生贡献的时间也更短
这样，我们就相当于维护了一个单调递减的队列
维护区间最小值同理
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
typedef long long ll;
ll a[maxn];
int q[maxn];
int main(){
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
}
int head=1,tail=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<=tail && i-q[head]+1>k) head++;
while(head<=tail && a[i]<a[q[tail]]) tail--;
q[++tail]=i;
if(i>=k)printf("%lld ",a[q[head]]);
}
printf("\n");
head=1,tail=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<=tail && i-q[head]+1>k) head++;
while(head<=tail && a[i]>a[q[tail]]) tail--;
q[++tail]=i;
if(i>=k)printf("%lld ",a[q[head]]);
}
printf("\n");
return 0;
}
其它题目
P2952 [USACO09OPEN]Cow Line S
P1440 求m区间内的最小值
P1638 逛画展
P1901 发射站
P2032 扫描
P2947 [USACO09MAR]Look Up S
P1714 切蛋糕
P2629 好消息，坏消息
单调队列优化DP
P2627 [USACO11OPEN]Mowing the Lawn G
题目描述
分析
暴力的\(DP\)方程比较好想，我们设\(f[i]\)为选择到第\(i\)头奶牛，并且第\(i\)头奶牛必须选的最大价值
则\(f[i]=max(f[i],f[j]+sum[i]-sum[j+1])(i-(j+1)<=k)\)
我们只需要用单调队列搞一下\(f[j]-sum[j+1]\)的最大值即可
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
typedef long long ll;
ll f[maxn],head,tail,sum[maxn],a[maxn];
int q[maxn];
int main(){
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
if(i<=k) f[i]=sum[i];
}
ll ans=0;
head=1,tail=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<=tail && i-q[head]-1>k) head++;
f[i]=max(f[i],f[q[head]]+sum[i]-sum[q[head]+1]);
ans=max(ans,f[i]);
while(head<=tail && f[i]-sum[i+1]>f[q[tail]]-sum[q[tail]+1]) tail--;
q[++tail]=i;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
P1725 琪露诺
题目描述
分析
对于每一个给定的\(i\)，我们都可以从\([i-r,i-l]\)区间中选出一个最大的\(f\)值来更新
用一个单调递减的队列维护即可
注意队列中存的是位置，而不是标号
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;
int a[maxn],q[maxn],f[maxn];
int main(){
for(int i=0;i<maxn;i++){
f[i]=-0x3f3f3f3f;
}
int n,l,r;
scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
for(int i=0;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
f[0]=0;
int head=1,tail=0,cnt=0;
for(int i=l;i<=n;i++){
while(head<=tail && f[q[tail]]<=f[i-l]) tail--;
q[++tail]=i-l;
while(q[head]+r<i) head++;
f[i]=f[q[head]]+a[i];
}
int ans=-0x3f3f3f3f;
for(int i=n-r+1;i<=n;i++){
ans=max(ans,f[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
P3957 跳房子
题目描述
分析
这道题刚一看上去和上一道题一模一样，但是队列里面存储的不是位置而是标号
因此我们要用双重循环来维护
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
int n,d,k;
int f[maxn],q[maxn],a[maxn],wz[maxn];
bool jud(int dd){
for(int i=0;i<maxn;i++) f[i]=-0x3f3f3f3f;
memset(q,0,sizeof(q));
int tmin=max(1,d-dd),tmax=d+dd;
int ans=0;
int head=1,tail=0;
f[0]=0;
for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
while(wz[i]-wz[j]>=tmin && j<i){
if(f[j]!=-0x3f3f3f3f){
while(head<=tail && f[q[tail]]<=f[j]) tail--;
q[++tail]=j;
}
j++;
}
while(head<=tail && wz[i]-wz[q[head]]>tmax) head++;
if(head<=tail) f[i]=f[q[head]]+a[i];
ans=max(ans,f[i]);
}
if(ans>=k) return 1;
return 0;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&d,&k);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&wz[i],&a[i]);
}
int l=0,r=1e9,mids;
while(l<=r){
mids=(l+r)>>1;
if(jud(mids)) r=mids-1;
else l=mids+1;
}
if(l>1e9) printf("-1\n");
else printf("%d\n",l);
return 0;
}
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