浅谈珂朵莉树

什么是珂朵莉树

珂朵莉树，又称\(Old Driver Tree(ODT)\)（老司机树）。

是一种基于\(set\)的暴力数据结构。

因此，再学习珂朵莉树之前，要掌握一些\(set\)和迭代器的知识

珂朵莉树的适用范围

线段树能干的它都能干（只要你不怕T）

使一整段区间内的东西变得一样，数据随机

比如下面这一道题

起源题：CF896C

题目描述

分析

如果只有前\(3\)个操作，那么别的数据结构似乎还可以使用

但是第\(4\)个操作是把区间中的每一个数拿出来进行运算

这样的操作其它数据结构很难胜任

这时我们就要用到珂朵莉树

定义

珂朵莉树是把连续的一段值相同的区间当作一个节点对待

因此节点定义如下

struct asd{
    ll l,r;
    //节点的左右端点
    mutable ll val;
    //节点的权值，如果不加mutable则在初始化后无法进行修改
    bool operator < (const asd& A)const{
        return l<A.l;
    }
    //按照左端点从小到大的顺序排序
    asd(ll aa,ll bb,ll cc){
        l=aa,r=bb,val=cc;
    }
    asd(ll aa){
        l=aa;
    }
};

核心操作 Split

这个操作的主要作用是将一个区间拆分开

比如我们要查询区间\([3,7]\)，但是\(3\)到\(7\)并不是一个节点，因此我们要把它们从原有的节点中拆分出来

#define sit set<asd>::iterator

首先，我们要宏定义\(set\)的迭代器

如果你不怕麻烦每次手打也可以

然后，我们再通过\(set\)建立一棵树

set<asd> s;

(set是C++自带的平衡树，这就是珂朵莉树是一棵树的原因）

最后是代码

sit Split(ll wz){
//返回值类型为迭代器
    sit it=s.lower_bound(asd(wz));
    //查找第一个左端点编号大于等于wz的节点
    if(it!=s.end() && it->l==wz) return it;
    //如果该节点的左端点是我们要分裂的节点，直接返回
    it--;
    //否则分裂上一个
    ll l=it->l,r=it->r,val=it->val;
    s.erase(it);
    //将该节点拆分为两个
    s.insert(asd(l,wz-1,val));
    return s.insert(asd(wz,r,val)).first;
    //返回分裂位置的迭代器
}

复杂度的保证Assign

将一个区间推平，赋成相同的值

void Assign(ll l,ll r,ll val){
    sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
    s.erase(it1,it2);
    //删除区间[l,r+1)中所有的节点
    s.insert(asd(l,r,val));
    //插入新节点
}

其它操作

一个比一个暴力

区间加

把\([l,r]\)中的节点取出，分别加上就好了

这里有一个细节必须注意，必须先声明\(it2\)再声明\(it1\)

否则根据\(split\)中的\(erase\)操作，迭代器\(it1\)可能会失效。

（因为\(it1\)所属的节点可能被删除了）

void ad(ll l,ll r,ll val){
    sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
    for(sit it=it1;it!=it2;++it){
        it->val+=val;
    }
}

区间第k小

把\([l,r]\)中的节点取出,\(sort\)一下就行了

ll kth(ll l,ll r,ll k){
    sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
    vector<pair<ll,ll> >a;
    a.clear();
    for(sit it=it1;it!=it2;it++){
        a.push_back(make_pair(it->val,it->r-it->l+1));
    }
    sort(a.begin(),a.end());
    for(ll i=0;i<a.size();i++){
        k-=a[i].second;
        if(k<=0) return a[i].first;
    }
}

区间幂次和

暴力维护+快速幂

ll ksm(ll ds,ll zs,ll mod){
    ll now=ds%mod,ans=1;
    while(zs){
        if(zs&1) ans=ans*now%mod;
        now=now*now%mod;
        zs>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll cx(ll l,ll r,ll x,ll y){
    sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
    ll ans=0;
    for(sit it=it1;it!=it2;it++){
        ans=(ans+(it->r-it->l+1)*ksm(it->val,x,y)%y)%y;
    }
    return ans;
}

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define sit set<asd>::iterator
const ll maxn=1e6+5;
struct asd{
    ll l,r;
    mutable ll val;
    bool operator < (const asd& A)const{
        return l<A.l;
    }
    asd(ll aa,ll bb,ll cc){
        l=aa,r=bb,val=cc;
    }
    asd(ll aa){
        l=aa;
    }
};
set<asd> s;
sit Split(ll wz){
    sit it=s.lower_bound(asd(wz));
    if(it!=s.end() && it->l==wz) return it;
    it--;
    ll l=it->l,r=it->r,val=it->val;
    s.erase(it);
    s.insert(asd(l,wz-1,val));
    return s.insert(asd(wz,r,val)).first;
}
void Assign(ll l,ll r,ll val){
    sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
    s.erase(it1,it2);
    s.insert(asd(l,r,val));
}
void ad(ll l,ll r,ll val){
    sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
    for(sit it=it1;it!=it2;++it){
        it->val+=val;
    }
}
ll kth(ll l,ll r,ll k){
    sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
    vector<pair<ll,ll> >a;
    a.clear();
    for(sit it=it1;it!=it2;it++){
        a.push_back(make_pair(it->val,it->r-it->l+1));
    }
    sort(a.begin(),a.end());
    for(ll i=0;i<a.size();i++){
        k-=a[i].second;
        if(k<=0) return a[i].first;
    }
}
ll ksm(ll ds,ll zs,ll mod){
    ll now=ds%mod,ans=1;
    while(zs){
        if(zs&1) ans=ans*now%mod;
        now=now*now%mod;
        zs>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll cx(ll l,ll r,ll x,ll y){
    sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
    ll ans=0;
    for(sit it=it1;it!=it2;it++){
        ans=(ans+(it->r-it->l+1)*ksm(it->val,x,y)%y)%y;
    }
    return ans;
}
ll n,m,mmax,seed;
ll rnd(){
    ll ret=seed;
    seed=(seed*7+13)%1000000007;
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&seed,&mmax);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        ll aa=rnd()%mmax+1;
        s.insert(asd(i,i,aa));
    }
    s.insert(asd(n+1,n+1,0));
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        ll l,r,x,y;
        ll op=rnd()%4+1;
        l=rnd()%n+1,r=rnd()%n+1;
        if(l>r) swap(l,r);
        if(op==3) x=rnd()%(r-l+1)+1;
        else x=rnd()%mmax+1;
        if(op==4) y=rnd()%mmax+1;
        if(op==1) ad(l,r,x);
        else if(op==2) Assign(l,r,x);
        else if(op==3) printf("%lld\n",kth(l,r,x));
        else printf("%lld\n",cx(l,r,x,y));
    }
    return 0;
}

复杂度证明

传送门

其它题目

\(CF343D\ Water\ Tree\)(珂朵莉树上树)

\(CF915E\ Physical\ Education\ Lessons\)（正解为动态开点线段树）

\(P4979\) 矿洞：坍塌

\(P1558\) 色板游戏

\(P3740\) 贴海报

\(P5350\) 序列

\(P1204\) 挤牛奶 \(Milking\ Cows\)