洛谷 P2220 [HAOI2012]容易题 数论

洛谷 P2220 [HAOI2012]容易题

题目描述

为了使得大家高兴，小Q特意出个自认为的简单题（easy）来满足大家，这道简单题是描述如下：

有一个数列A已知对于所有的A[i]都是1~n的自然数，并且知道对于一些A[i]不能取哪些值，我们定义一个数列的积为该数列所有元素的乘积，要求你求出所有可能的数列的积的和 mod 1000000007的值，是不是很简单呢？呵呵！

输入格式

第一行三个整数n,m,k分别表示数列元素的取值范围，数列元素个数，以及已知的限制条数。

接下来k行，每行两个正整数x,y表示A[x]的值不能是y。

输出格式

一行一个整数表示所有可能的数列的积的和对1000000007取模后的结果。如果一个合法的数列都没有，答案输出0。

输入输出样例

输入 #1

3 4 5
1 1
1 1
2 2
2 3
4 3

输出 #1

90

说明/提示

样例解释

A[1]不能取1

A[2]不能去2、3

A[4]不能取3

所以可能的数列有以下12种

数列 积

2 1 1 1 2

2 1 1 2 4

2 1 2 1 4

2 1 2 2 8

2 1 3 1 6

2 1 3 2 12

3 1 1 1 3

3 1 1 2 6

3 1 2 1 6

3 1 2 2 12

3 1 3 1 9

3 1 3 2 18

30%的数据n<=4,m<=10,k<=10

另有20%的数据k=0

70%的数据n<=1000,m<=1000,k<=1000

100%的数据 n<=10\(^9\),m<=10\(^9\),k<=10\(^5\),1<=y<=n,1<=x<=m

分析

我们先去考虑没有限制的情况，那么最终的答案就是

\(( 1+2+3+……+n)^{m}=(\frac{n\times(n-1)}{2})^{m}\)

为什么是这样呢？其实我们可以把数列的每一个元素看成一个集合

每一次我们可以从每个集合中任意取出\(n\)个元素

这\(n\)个元素的值分别为\(1 - n\)

根据乘法原理最终的结果就是

\((1+2+3+……+n)\times(1+2+3+……+n)\times……\)

一共要乘\(m\)次

如果还不理解的话，你可以随便举一个例子，按照上面的式子把它展开

但是，题目中有些元素是取不到的

我们可以记录一下每一个元素取不到的值的和\(tot\)

我们只要把该元素贡献的价值改为\(\frac{n\times(n-1)}{2}-tot\)就可以了

因为题目中的限制条件最多只有\(10^{5}\)个

所以我们记录下有限制条件的元素的个数\(cnt\)，对其单独处理

对于其余的元素，我们用快速幂的思想求出\((\frac{n\times(n-1)}{2})^{m-cnt}\)

最后再把所有的结果累乘就可以了

要注意两个问题：
1、因为结果很大，能取模的地方就取模
2、要注意判重，样例已经给出重复的情况了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100005;
const long long mod=1e9+7;
typedef long long ll;
map<pair<ll,ll>,ll> ma1;
map<ll,ll> ma2;
ll jl[maxn];
ll cf(ll now,ll zs){
    ll jl=now%mod,ans=1;
    while(zs){
        if(zs&1) ans*=(jl%mod),ans%=mod;
        jl*=(jl%mod),jl%=mod;
        zs>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    ll n,m,k,js=0;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    for(ll i=1;i<=k;i++){
        ll aa,bb;
        scanf("%lld%lld",&aa,&bb);
        if(!ma2[aa]) jl[++js]=aa;
        if(ma1[make_pair(aa,bb)]) continue;
        ma1[make_pair(aa,bb)]=1;
        ma2[aa]+=bb;
    }
    ll ans=1,cj=(n+1)*n/2;
    for(ll i=1;i<=js;i++){
        ans*=(cj-ma2[jl[i]])%mod;
	    ans%=mod;
    }
    printf("%lld\n",ans%mod*cf(cj,m-js)%mod%mod);
    return 0;
}