有环快慢指针相遇问题

quick快指针速度 Vq=2Vs, slow慢指针速度Vs，首先在环内一定会相遇这里就不阐述了；

（借用下别人的图（谢谢那位））背景：环的起点为X，从链表到X的距离为x，假设quick和slow在Z点相遇，且X到Z距离n；

 

Q1：第一次相遇一定会发生在slow在环内第一圈的时候；

假设环长C，slow刚进入环的时候位于X，quick位于环内任意点，假设quick处在正向距离X点k (0<=k<C)处；

将X视为原点，一维坐标移动。经过时间 t 第一次相遇时slow走过的距离Ss=Vs*t，quick走过的距离为Sq=C-k+Ss（先从当前点移动到X点，再加上slow移动的距离），又因为运动时间相同，有Sq=Vq*t=2*Vs*t，因此C-k+Ss=2Vs*t=2Ss，得Ss=C-k，因此第一次相遇一定会发生在slow在环内第一圈的时候。

此时Sq=2Ss，此时quick在第几圈受C和x影响，最多不会超过Vq/Vs圈。#

 

Q2：求环开始的节点，即X的位置；

第一次相遇时的状态：（第一次相遇可 if 内获得相遇点Z点位置）slow在环内第一次到Z点，Ss=x+n；Sq=2Ss=2(x+n)；

quick比slow多走Sq-Ss=x+n，但仍在同一点相遇，因此x+n=k*C（k为正整数）；

从链表头节点到X点的距离 x，加上k*C仍会在环的起点X点，也就是x+k*C=x+(x+n)=2x+n会停在环的起点；

因此 2x+n = x+n(从链表头节点到第一次相遇Z点)+x(从链表头节点到环起点X点)；可知只需在Z点时再走距离x可回到环的起点X点，将slow或quick其一定位至链表头节点，假定为slow指向链表头节点，此时quick仍在Z点，slow与quick此时用相同速度走，slow与quick走x步后会在X点相遇，此时相遇点即为X点；#

 

Q3：关于速度；

假设slow与quick都在环内，slow在前，quick在后追赶slow，quick与slow相距距离x，环长C；

quick速度Vq=k*Vs;

quick走完整一圈所需时间 t=C/Vq，此时slow走了Vs*t=C/k；quick与slow缩短了Sq-Ss = C - C/k = C*(k-1)/k；

因此quick需要走x/(C*(k-1)/k)=(k/(k-1)) * (x/C)圈与slow相遇；

当x=C时，即slow与quick原本已相遇在同一点，下一次再相遇需要quick走k/(k-1)圈；