CF1710B Rain 差分+数学分析

题意简述

给出若干个雨中心 $x_i$ 与降雨强度 $p_i$。

对于每场雨 $x,p$，对位置 $i$ 积水的贡献为 $\max \{0, |x-i|+p \}$

任意一个位置积水大于 $m$ 就会发洪水，问抹去一场降雨，是否不会发洪水。

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问题分析

首先，发洪水的地方一定是某个降雨中心。

本质上，每个位置的积水深度是若干个绝对值函数 $f(x)=|x-x_i|$ 叠加的结果。容易知道类似的函数在零点取到极值。

可以通过离散化，将值域缩小到 $n$。

维护两个差分数组：斜率和截距，可以算出每个位置的积水量。

如果一个降水中心 $i$，原来的积水量为 $R_i>m$，去掉降雨 $k$ 后积水量不超过 $m$，则有 $R_i - |x_j-x_i| - p_j \le m$。

这里不处理 $\max$ 的原因是：若题目中 $\max$ 的式子在这里取零，即有 $R_i \le m$，与 $R_i > m$ 矛盾，故题目中的式子在这里 $>0$。

拆开绝对值有：

$$\begin{cases} R_i - x_j + x_i - p_j \le m \\ R_i - x_i + x_j - p_j \le m \end{cases}$$

移项，有

$$\begin{cases} R_i + x_i \le x_j + p_j +m \\ R_i - x_i \le -x_j + p_j + m \end{cases}$$

维护 $R_i+x_i$ 和 $R_i-x_i$ 的最大值即可。

一个注意点：多测清空时，差分数组要清到 $n+1$ 的位置。

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Codes

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define int long long
typedef long long LL;
 
template < typename Tp >
void read(Tp &x) {
	x = 0; int fh = 1; char ch = 1;
	while(ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar();
	if(ch == '-') fh = -1, ch = getchar();
	while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	x *= fh;
}
 
const int maxn = 200000 + 7;
 
int T, n, m;
struct rain {
	int x, p, id;
	bool ans;
}a[maxn];
 
void Init(void) {
	read(T);
}
 
bool cmp(rain a, rain b) {
	return a.x == b.x ? a.p < b.p : a.x < b.x;
}
 
bool comp(rain a, rain b) {
	return a.id < b.id;
}
 
int sk[maxn], sb[maxn], r[maxn];
 
int lfind(rain t) {
	int l = 1, r = n, mid, res = n;
	while(l <= r) {
		mid = ((l + r) >> 1);
		if(a[mid].x >= t.x - t.p) res = mid, r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	return res;
}
 
int rfind(rain t) {
	int l = 1, r = n, mid, res = 1;
	while(l <= r) {
		mid = ((l + r) >> 1);
		if(a[mid].x <= t.x + t.p) res = mid, l = mid + 1;
		else r = mid - 1;
	}
	return res;
}
 
void Work(void) {
	while(T--) {
		for(int i = 1; i <= n + 1; i++) {
			sb[i] = sk[i] = r[i] = 0;
//			a[i].x = a[i].p = a[i].id = a[i].ans = 0;
		}
		read(n); read(m);
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			read(a[i].x); read(a[i].p);
			a[i].id = i;
		}
		sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			int lb = lfind(a[i]), rb = rfind(a[i]);
			sk[lb]++, sk[i + 1] -= 2, sk[rb + 1]++;
			sb[lb] += a[i].p - a[i].x;
			sb[i + 1] -= a[i].p - a[i].x;
			sb[i + 1] += a[i].p + a[i].x;
			sb[rb + 1] -= a[i].p + a[i].x;
		}
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			sk[i] += sk[i - 1];
			sb[i] += sb[i - 1];
			r[i] = sb[i] + sk[i] * a[i].x;
//			cout << r[i] << " ";
		}
		int mx1 = -0x3f3f3f3f3f3f3f3fll, mx2 = -0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			if(r[i] > m) mx1 = max(mx1, r[i] - a[i].x);
			if(r[i] > m) mx2 = max(mx2, r[i] + a[i].x);
		}
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			if(a[i].p - a[i].x + m >= mx1 && a[i].x + a[i].p + m >= mx2) a[i].ans = true;
			else a[i].ans = false;
		}
		sort(a + 1, a + n + 1, comp);
		for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d", a[i].ans);
		puts("");
	}
}
 
signed main(void) {
	Init();
	Work();
	return 0;
}