CF1701D Permutation Restoration

题意简述

Monocarp 有一个由 $n$ 个数字 $1, 2, \cdots, n$ 组成的排列 $a$。

然后 Monocarp 计算出了一个由 $n$ 个数字组成的数列 $b$，满足 $b_i = \lfloor \dfrac{i}{a_i} \rfloor$。

现在 Monocarp 丢掉了排列 $a$，他希望你可以通过数列 $b$ 倒推出排列 $a$，如果有多个答案，给出任意一个即可，数据保证有解。

多测，$1 \le T \le 10^5, \sum{n} \le 5 \times 10^5$

问题分析

由于有 $b_i = \lfloor \dfrac{i}{a_i} \rfloor$，可以得到 $b_i \le \dfrac{i}{a_i} < b_i+1$，即 $\dfrac{i}{b_i+1} < a_i \le \dfrac{i}{b_i}$。

枚举排列 $a$ 中每个数，假设现在枚举到 $x$。对于每个 $x$，存在一些线段 $S_i$，满足 $\dfrac{i}{b_i+1} < x \le \dfrac{i}{b_i}$。

从贪心的角度来说，对于这些线段，我们选择右端点最小的线段，为其他空留下更多的选择空间。

考虑类似于尺取的方法，从 $1$ 枚举到 $n$，当枚举到 $x$ 的时候，将所有以 $x$ 为左端点的线段加入到一个以右端点为排序关键字的优先队列中，每次选取最小的即可。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
template < typename Tp >
void read(Tp &x) {
	x = 0; int fh = 1; char ch = 1;
	while(ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar();
	if(ch == '-') fh = -1, ch = getchar();
	while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	x *= fh;
}
 
const int maxn = 500000 + 7;
int T, n, b[maxn];
 
void Init(void) {
	read(T);
}
 
pair <int, pair<int, int> > pr[maxn];
priority_queue < pair<int, int> > Q;
int ans[maxn];
 
void Work(void) {
	while(T--) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			ans[i] = 0; pr[i].first = pr[i].second.first = pr[i].second.second = 0;
		}
		read(n);
//		memset(ans, 0, sizeof(ans));
//		while(!Q.empty()) Q.pop();
//		memset(pr, 0, sizeof(pr));
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			read(b[i]);
			pr[i].first = i / (b[i] + 1) + 1;
			if(b[i] == 0) pr[i].second.first = n;
			else pr[i].second.first = i / b[i];
			pr[i].second.second = i;
		}
		sort(pr + 1, pr + n + 1);
		int cnt = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			while(cnt <= n && pr[cnt + 1].first == i) {
				Q.push(make_pair(-pr[cnt + 1].second.first, pr[cnt + 1].second.second));
				cnt++;
			}
			int id = Q.top().second; Q.pop();
			ans[id] = i;
		}
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == n]);
		}
	}
}
 
int main(void) {
	Init();
	Work();
	return 0;
}