CF1701D Permutation Restoration

题意简述

Monocarp 有一个由 \(n\) 个数字 \(1, 2, \cdots, n\) 组成的排列 \(a\)。

然后 Monocarp 计算出了一个由 \(n\) 个数字组成的数列 \(b\)，满足 \(b_i = \lfloor \dfrac{i}{a_i} \rfloor\)。

现在 Monocarp 丢掉了排列 \(a\)，他希望你可以通过数列 \(b\) 倒推出排列 \(a\)，如果有多个答案，给出任意一个即可，数据保证有解。

多测，\(1 \le T \le 10^5, \sum{n} \le 5 \times 10^5\)

问题分析

由于有 \(b_i = \lfloor \dfrac{i}{a_i} \rfloor\)，可以得到 \(b_i \le \dfrac{i}{a_i} < b_i+1\)，即 \(\dfrac{i}{b_i+1} < a_i \le \dfrac{i}{b_i}\)。

枚举排列 \(a\) 中每个数，假设现在枚举到 \(x\)。对于每个 \(x\)，存在一些线段 \(S_i\)，满足 \(\dfrac{i}{b_i+1} < x \le \dfrac{i}{b_i}\)。

从贪心的角度来说，对于这些线段，我们选择右端点最小的线段，为其他空留下更多的选择空间。

考虑类似于尺取的方法，从 \(1\) 枚举到 \(n\)，当枚举到 \(x\) 的时候，将所有以 \(x\) 为左端点的线段加入到一个以右端点为排序关键字的优先队列中，每次选取最小的即可。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

template < typename Tp >
void read(Tp &x) {
	x = 0; int fh = 1; char ch = 1;
	while(ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar();
	if(ch == '-') fh = -1, ch = getchar();
	while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	x *= fh;
}

const int maxn = 500000 + 7;
int T, n, b[maxn];

void Init(void) {
	read(T);
}

pair <int, pair<int, int> > pr[maxn];
priority_queue < pair<int, int> > Q;
int ans[maxn];

void Work(void) {
	while(T--) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			ans[i] = 0; pr[i].first = pr[i].second.first = pr[i].second.second = 0;
		}
		read(n);
//		memset(ans, 0, sizeof(ans));
//		while(!Q.empty()) Q.pop();
//		memset(pr, 0, sizeof(pr));
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			read(b[i]);
			pr[i].first = i / (b[i] + 1) + 1;
			if(b[i] == 0) pr[i].second.first = n;
			else pr[i].second.first = i / b[i];
			pr[i].second.second = i;
		}
		sort(pr + 1, pr + n + 1);
		int cnt = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			while(cnt <= n && pr[cnt + 1].first == i) {
				Q.push(make_pair(-pr[cnt + 1].second.first, pr[cnt + 1].second.second));
				cnt++;
			}
			int id = Q.top().second; Q.pop();
			ans[id] = i;
		}
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == n]);
		}
	}
}

int main(void) {
	Init();
	Work();
	return 0;
}