LG3801 红色的幻想乡 线段树+容斥原理

问题描述

经过上次失败后，蕾米莉亚决定再次发动红雾异变，但为了防止被灵梦退治，她决定将红雾以奇怪的阵势释放。

我们将幻想乡看做是一个 \(n \times m\) 的方格地区，一开始没有任何一个地区被红雾遮盖。蕾米莉亚每次站在某一个地区上，向东南西北四个方向各发出一条无限长的红雾，可以影响到整行/整列，但不会影响到她所站的那个地区。如果两阵红雾碰撞，则会因为密度过大而沉降消失。灵梦察觉到了这次异变，决定去解决它。但在解决之前，灵梦想要了解一片范围红雾的密度。可以简述为两种操作:

1 x y 蕾米莉亚站在坐标 \((x,y)\) 的位置向四个方向释放无限长的红雾。

2 x1 y1 x2 y2 询问左上点为 \((x1,y1)\)，右下点为 \((x2,y2)\) 的矩形范围内，被红雾遮盖的地区的数量。

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题解

认为站立的地方也是沉降。

维护两棵线段树，一个维护行，一个维护列，单点修改，区间查询（树状数组也可以）

设 \(R,C\) 分别代表行和列被覆盖数量，答案为 $ R \times (y2 - y1 + 1) + C \times (x2 - x1 + 1) - 2 \times R \times C $ 。

减去两倍 \(R \times C\) 的原因：去掉行列统计各一次。

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\(\mathrm{Code}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 100000 + 7;
const int maxm = 200000 + 7;

int n, m, T;

template < typename Tp >
void read(Tp &x) {
	x = 0;char ch = 1;int fh = 1;
	while(ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar();
	if(ch == '-') fh = -1, ch=getchar();
	while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	x *= fh;
}

void Init(void) {
	read(n); read(m); read(T);
}

struct Segment_Tree {
	#define lfc (x << 1)
	#define rgc ((x << 1) | 1)
	#define mid ((l + r) >> 1)
	int val[maxn << 2];
	void modify(int x, int l, int r, int pos) {
		if(l == r) {
			val[x] = 1 - val[x];
			return ;
		}
		if(pos <= mid) modify(lfc, l, mid, pos);
		else modify(rgc, mid + 1, r, pos);
		val[x] = val[lfc] + val[rgc];
	}
	int query(int x, int l, int r, int L, int R) {
		if(L <= l && r <= R) return val[x];
		if(r < L || l > R) return 0;
		return query(lfc, l, mid, L, R) + query(rgc, mid + 1, r, L, R);
	}
}row, column;


void operator1(void) {
	int x, y;
	read(x); read(y);
	row.modify(1, 1, n, x);
	column.modify(1, 1, m, y);
}

void operator2(void) {
	int x1, x2, y1, y2;
	read(x1); read(y1); read(x2); read(y2);
	int R = row.query(1, 1, n, x1, x2), C = column.query(1, 1, m, y1, y2);
	LL ans = (LL)(y2 - y1 + 1) * (LL)R + (x2 - x1 + 1) *(LL)C - (LL)R * (LL)C * 2ll;
	printf("%lld\n", ans);
}

void Work(void) {
	while(T--) {
		int op; read(op);
		if(op == 1) operator1();
		else operator2();
	}
}

int main(void) {
	Init();
	Work();
	return 0;
}