BZOJ3992/LG3321 「SDOI2015」序列统计 DP+NTT
问题描述
小 C 有一个集合 \(S\)，里面的元素都是小于 \(M\) 的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为 \(N\) 的数列，数列中的每个数都属于集合 \(S\)。
小 C 用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小 C 有一个问题需要你的帮助：给定整数 \(x\)，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积 \(\bmod M\) 的值等于 \(x\) 的不同的数列的有多少个。小 C 认为，两个数列 \(\{A_i\}\) 和 \(\{B_i\}\) 不同，当且仅当至少存在一个整数 \(i\)，满足 \(A_i \neq B_i\)。另外，小 C 认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案 \(\mod 1004535809\) 的值就可以了。
题解
一道好题！
第一类部分分 - \(O(nm^2)\) \(\mathrm{DP}\)
设 \(dp[i][j]\) 代表选取了 \(i\) 个之后，膜 \(M\) 为 \(j\) 的方案数。
转移方程： \(dp[i][j]=\sum\limits_{k=1}^{|S|}{\sum\limits_{p=0}^{M-1}{dp[i-1][S_k \times p \bmod M]}}\)
边界条件： \(dp[1][j]=[j \in S]\)
时间复杂度 \(O(nm^2)\) ，期望得分 \(10\) 分。
第二类部分分 - \(O(m^2 \log_2 n)\) \(\mathrm{DP}\)
设 \(f[i][j]\) 代表选取 \(2^i\) 个之后，膜 \(M\) 为 \(j\) 的方案数。
预处理 \(f\) 之后，可以类似于快速幂地求解。
正解
对于第二类部分分，发现在 \(\sum\) 下是 \(A \times B = C\) ，不是很好处理。
考虑对其取对数，令 \(a=log_g A\)，则为 \(a+b=c\) ，卷积形式，可以用 NTT 优化。
至于映射关系，在膜 \(M\) 意义下，根据原根的性质，取对数可以转化为 \(g^{a} \bmod M\) ， \(a\) 的取值范围为 \([0,M-1)\) 。
然后 NTT 的一些实现细节，还需要再想想。
\(\mathrm{Code}\)
10pts
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename Tp>
void read(Tp &x){
x=0;char ch=1;int fh=1;
while(ch!='-'&&(ch>'9'||ch<'0')) ch=getchar();
if(ch=='-') fh=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
x*=fh;
}
const int maxS=8000+7;
const int mod=1004535809;
int n,m,x,S;
int a[maxS];
void Init(void){
read(n);read(m);read(x);read(S);
for(int i=1;i<=S;i++) read(a[i]);
}
int dp[1007][maxS];
void Work(void){
for(int i=1;i<=S;i++) dp[1][a[i]]++;
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=S;j++){
for(int k=0;k<m;k++){
int p=(long long)k*a[j]%m;
dp[i][p]=(dp[i][p]+dp[i-1][k])%mod;
}
}
}
printf("%d\n",dp[n][x]);
}
int main(){
Init();Work();
return 0;
}
60pts
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename Tp>
void read(Tp &x){
x=0;char ch=1;int fh=1;
while(ch!='-'&&(ch>'9'||ch<'0')) ch=getchar();
if(ch=='-') fh=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
x*=fh;
}
const int maxS=8000+7;
const int mod=1004535809;
int n,m,x,S;
int a[maxS];
int dp[maxS],opt[maxS];
//bool exist[maxS];
void Init(void){
read(n);read(m);read(x);read(S);
for(int i=1;i<=S;i++) read(a[i]),dp[a[i]]=1;
}
int tmp[maxS];
int power(int x,int p,int mod){
int res(1);
while(p){
if(p&1) res=(long long)res*x%mod;p>>=1;
x=(long long)x*x%mod;
}
return res;
}
void mul(int *f,int *g,int *res){
for(int i=0;i<m;i++){
// if(!exist[i]) continue;
for(int j=0;j<m;j++){
int p=(long long)i*j%m;
tmp[p]=(tmp[p]+(long long)f[i]*g[j]%mod)%mod;
}
}
for(int i=0;i<m;i++) res[i]=tmp[i],tmp[i]=0;
}
void fpow(int p){
while(p){
if(p&1) mul(dp,opt,opt);
mul(dp,dp,dp);p>>=1;
}
}
void Work(void){
opt[1]=1;fpow(n);
printf("%d\n",opt[x]);
}
int main(){
Init();
Work();
return 0;
}
100pts
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename Tp>
void read(Tp &x){
x=0;char ch=1;int fh=1;
while(ch!='-'&&(ch>'9'||ch<'0')) ch=getchar();
if(ch=='-') fh=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
x*=fh;
}
const int maxS=16000+7;
const int mod=1004535809;
int n,m,x,S;
int a[maxS];
int dp[maxS<<1],opt[maxS<<1];
int power(int x,int p,int mod){
int res(1);
while(p){
if(p&1) res=(long long)res*x%mod;p>>=1;
x=(long long)x*x%mod;
}
return res;
}
bool check(int g,int p){
int q=p-1;
for(int i=2;(long long)i*i<=q;i++){
if(q%i==0&&(power(g,i,p)==1||power(g,q/i,p)==1)) return false;
}
return true;
}
int getG(int k){
for(int i=2;i<=100;i++) if(check(i,k)) return i;
return -1;
}
int pos[maxS];
int Gm,Gd=3;
int invG=power(Gd,mod-2,mod);
int tr[maxS<<1];
int lim;
void NTT(int *f,int type){
for(int i=0;i<lim;i++) if(i<tr[i]) swap(f[i],f[tr[i]]);
for(int dlen=2;dlen<=lim;dlen<<=1){
int len=dlen>>1,w;
if(type==1) w=power(Gd,(mod-1)/dlen,mod);
else w=power(invG,(mod-1)/dlen,mod);
for(int k=0;k<lim;k+=dlen){
int buf=1;
for(int l=0;l<len;l++){
int LF=f[k+l],RF=(long long)buf*f[len+k+l]%mod;
f[k+l]=(LF+RF)%mod,f[k+l+len]=(LF-RF+mod)%mod;
buf=(long long)buf*w%mod;
}
}
}
if(type==-1){
int inv=power(lim,mod-2,mod);
for(int i=0;i<lim;i++) f[i]=(long long)f[i]*inv%mod;
}
}
void Init(void){
read(n);read(m);read(x);read(S);
Gm=getG(m);
// printf("** GM = %d , invG = %d\n",Gm,invG);
for(int i=0;i<m-1;i++){
int Pos=power(Gm,i,m);
pos[Pos]=i;
}
for(int i=1;i<=S;i++){
read(a[i]);
if(a[i]) dp[pos[a[i]]]++;
}
// for(int i=1;i<=m;i++){
// printf("%d %d\n",dp[i],pos[i]);
// }
}
int tmp[maxS],FF[maxS<<1],GG[maxS<<1];
void mul(int *f,int *g,int *res){
for(int i=0;i<lim;i++) FF[i]=f[i],GG[i]=g[i];
NTT(FF,1);NTT(GG,1);
for(int i=0;i<lim;i++) FF[i]=(long long)FF[i]*GG[i]%mod;
NTT(FF,-1);
for(int i=0;i<m-1;i++) res[i]=(FF[i]+FF[i+m-1])%mod;
}
void fpow(int p){
while(p){
if(p&1) mul(opt,dp,opt);
mul(dp,dp,dp);p>>=1;
}
}
void Work(void){
for(lim=1;lim<=m*2;lim<<=1);
// printf("** lim = %d\n",lim);
for(int i=0;i<lim;i++) tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?lim>>1:0);
opt[pos[1]]=1;fpow(n);
printf("%d\n",opt[pos[x]]);
}
int main(){
// printf("**%d\n",getG(12289));
Init();
Work();
return 0;
}
