[最大公约数] 问题列表#1574 #1181

最大公约数的求法

最大公约数——辗转相除法（欧几里得算法）

给定两个数 a,b 求最大公约数。使用辗转相除法思路如下：

1. 对于已知的两个自然数 a,b 假设 a>b。

2. 计算 a/b 将得到的余数记为 r

3. 如果 r=0 ，则 b 为求得的最大公约数，否则执行下一步

4. 将 b 的值保存到 a 中，将 r 的值保存到 b 中，重复执行(2)(3)，直到 r=0 ，便得到最大公约数。

将代码简化，扩大范围到 long long 则代码如下：

long long gcd(long long a,long long b)
{ 
    return !b ? a : gcd(b, a%b); 
}

最大公约数——Stein 算法

引言：

欧几里得算法简单的同时也具有很高的效率，但如果计算的数超过32位，往往需要反复试商，效率大大降低。

改进：

Stein 算法只有整数的移位和加减法，首先注意以下结论：gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身，gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

Stein算法其实是分类减小的思想，和欧几里得算法其实差不太多，主要是为了缩小那两个数，一共分三种情况：

1. 两个都是偶数的情况，这个时候的做法是将这两个数都减半，例如现在要求6和8的最大公约数，那么其实求到3和4的最大公约数再乘上2就好了。

2. 一个奇数一个偶数的情况，这种情况只将偶数减半就好，因为最大公约数肯定是奇数。

3. 两个都是奇数的情况，这个时候有两个做法：一个是转为求 A-B 和 B（两个数中小的那个）的最大公约数。另一种做法是转为求 (A+B)/2, (A-B)/2 的最大公约数，其实都是可以的。

把乘2改写成左移一位，除以2改写成右移一位，这样就可以精简代码：

long long GCD(long long a, long long b)
{
    if (a == b) return a;
    if (a == 0) return b;
    if (b == 0) return a;
    long long k = 0;
    while ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0)
    {
        a = a >> 1;
        b = b >> 1;
        k++;
    }
    while ((a & 1) == 0) a = a >> 1;
    while ((b & 1) == 0) b = b >> 1;//转为两数都是奇数的情况
    return GCD(abs(a - b) >> 1, min(a, b) << k);
    //或者写为：return GCD((a+b)>>1,abs(a-b)>>1);
}

 以上就是全部的拓展内容啦，下面就去写题目吧！

 

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《1574:韩信又点兵》

题意：

一支军队总人数不大于100万。让士兵按每排A1人排成纵队，发现最后余了1个士兵；每排A2人，也是多1个士兵；...；每排Am人，也是多一个士兵。请求出满足条件的最大数字。如果无解，则输出-1。

题解：

例如对于 a,b,c 三个数求最大解：

1. 输入 a,b 求 a,b 的最小公倍数 m
2. 输入 c ，求 c 和 m 的最小公倍数，得到 n
3. 对 n 反复自加 n，直到大于或等于100w
4. 取上一次的数据，加1后输出。

上板子：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
long long gcd(long long a, long long b)
{
    return !b ? a : gcd(b, a % b);
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--)//n组案例
    {
        ll m, a, b, c;//m个数字，ab为两个数，c为两数的最大公因数
        cin >> m >> a;//先读一个数a
        m -= 1;
        while (m > 0)//当还有数字未读
        {
            cin >> b;
            if (a < 1000000) {
                c = gcd(a, b);
                a = a * b / c;
            }
            m--;
        }
        if (a >= 1000000 || m < 0)cout << -1 << endl;
        else
        {
            ll u = a;
            while (a < 1000000)
            {
                a += u;
            }
            cout << a - u + 1 << endl;
        }
    }
    return 0;
}

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《1181:公因数》

题意：

输入两个正整数m和n，输出它们所有的公因数。

题解：

例如对于 m,n 求所有公因数：

1. 求出 m,n 的最大公因数 q
2. 求在 [1,q] 范围内的所有公因数

各种思路：

• 使用 set 存储所有的公因数（可以自动排序，最后使用迭代器输出）
• 使用 sqrt(q)，缩小范围求公因数　　//一个数对应一个数，例如对于 12，当判断1时同时存储 12/1，判断2时同时存储 12/2，判断到sqrt(12)为止。
• 可以先输出较小的数（<=sqrt(q)），将较大的数存储后倒序输出。

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制作：BDT20040