题目补完计划
小 Y 的背包计数问题
题目:
非常小清新的题目描述,就是一个很简单的背包,直接n2搞起。
等会,数据范围1e5????
这咋搞啊?
神犇:n√n搞。
以上是我看到这题时候的心里过程,可以无视掉
这道题是一个很厉害的dp和卡常技巧相结合的题,虽说这道题最优复杂度是n√n但是只要写丑,实际复杂度会到3e7以上,加上那么多取膜和CCF的老爷机,直接T飞。
先说思路:
定义两个dp数组,不妨设他们为dp与f吧。
dp[i][j]表示只考虑前√n个数,前i个数,每个数选某些个,占据背包体积为j的方案数。
f[i][j]表示√n+1~n这些数中,任意选i个数,占据背包体积为j的方案数。
然后我们只要保证得出这两个数组中的值的过程不超过n√n的复杂度就行了。
先考虑第一个转移:
比较显然有:dp[i][j]=i×k<=j∑kdp[i−1][j−k×i]
注意到这样转移的时候需要枚举i,j,k三个变量,复杂度成了n2√n了,所以需要优化:
考虑前缀和优化:每枚举到一个i,先O(n)算出sum数组,sum[j]表示dp[i−1][j],dp[i−1][j−i],dp[i−1][j−2×i]……的和,然后转移的时候就dp[i][j]=sum[j]−sum[j−i×(i+1)](原因是i这个物品最多被选i次,而计算sum的时候有可能把超过i件的方案数也统计了过来,所以减一下)。
第二个转移:
运用整数划分的思想,每次加数要么加√n+1要么把当前的所有数+1,就可以拼成所有情况。
f[i][j]=f[i][j−i]+f[i−1][j−sqrt(n)−1]
因为每个数都是大于√n的,所以最多选√n个数,i的枚举边界是这个。
注意这里的j枚举需要从(√n+1)∗i开始枚举,算一个小小的剪枝,但是能把时间从1.2s剪到0.9s。
然后综合统计一下,注意判断边界(比如前√n个数拼出n后面那些数拼出0的情况)。
还有记得码写的好看一点。
码:
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