概率与期望题库题目整理
骰子基础版
高中数学题，我是暴力做的。
最多甩24次骰子，可以发现 \(6^{24}\) 没有爆\(unsigned\ long\ long\)，直接快速幂搞定分母（基本事件总数）
然后考虑>X点的方案，我是稍微转移下，定义dp[i][j]表示前i个骰子总点数是j的方案数，直接转移搞搞即可，分子也搞定了。
求个gcd约个分，就ok了
三角形的概率
高中数学题，结论题。
答案是：
puts("0.500")
证明看这里神犇LZZ的博客
聪聪和可可
新加的题，是个期望dp，转移和预处理比较复杂，但是不难理解。
定义dp[i][j]表示猫在i，鼠在j的期望时间，运用dfs记忆化搜索的形式dp。
预处理一堆：
- next[i][j]表示猫在i,鼠在j的猫下一步会走哪（根据题目定义，猫会向离鼠近的编号最小的走，可以预处理）
- dis[i][j]表示i到j的距离，每个点bfs一遍\(n^2\)求出
转移（记得期望dp要倒着推）：
\(dp[i][j]=dp[next[next[i][j]][j]][j]*\frac{1}{degree[j]+1}+\sum\limits_{k}^{k是j的临接点} dp[next[next[i][j]][j]][k]*\frac{1}{degree[j]+1}\)
这里next两次是因为猫一次走两步，degree[j]+1是因为从j除了到他的临接点，还可以不动，所以老鼠这一步走的总方案数是degree[j]+1。
dp数组的初始化：对于距离为1、2的两点i,j猫吃鼠时间需要1，距离为0的猫吃鼠时间需要0;
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e3+10;
inline int read(){
int x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e3+10;
inline int read(){
int x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x;
}
int next[maxn][maxn],dis[maxn][maxn],degree[maxn];
int n,m,cat,mouse;
double dp[maxn][maxn];
struct E{
int to,next;
}edge[maxn];
int head[maxn],tot;
void add(int from,int to){
edge[++tot].to=to;
edge[tot].next=head[from];
head[from]=tot;
}
queue<int> q;
void bfs(int s){
for(register int i=head[s];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
dp[s][v]=1;
for(register int j=head[v];j;j=edge[j].next){
int w=edge[j].to;
if(w==s)continue;
dp[s][w]=1;
}
}
q.push(s);dis[s][s]=0;dp[s][s]=0;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(register int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(dis[s][v]>dis[s][u]+1){
dis[s][v]=dis[s][u]+1;
q.push(v);
}
}
}
}
void init(int from,int to){
int Min=0x7fffffff;
for(register int i=head[from];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(dis[v][to]==Min){
if(v<next[from][to]){
next[from][to]=v;
}
}
if(dis[v][to]<Min){
next[from][to]=v;
Min=dis[v][to];
}
}
}
double dfs(int u,int v){
if(dp[u][v]!=0||u==v){
return dp[u][v];
}
int now=next[next[u][v]][v];
dp[u][v]+=(dfs(now,v)+1)/(degree[v]+1);
for(register int i=head[v];i;i=edge[i].next){
dp[u][v]+=(dfs(now,edge[i].to)+1)/(degree[v]+1);
}
return dp[u][v];
}
int main(){
freopen("cchkk.in","r",stdin);
freopen("cchkk.out","w",stdout);
n=read();m=read();cat=read();mouse=read();
for(register int i=1;i<=m;i++){
int from=read(),to=read();
add(from,to);add(to,from);
degree[from]++;
degree[to]++;
}
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(next,0x3f,sizeof(next));
for(register int i=1;i<=n;i++){
bfs(i);
}
for(register int i=1;i<=n;i++){
for(register int j=1;j<=n;j++){
init(i,j);
}
}
printf("%.3lf\n",dfs(cat,mouse));
return 0;
}
return x;
}
int next[maxn][maxn],dis[maxn][maxn],degree[maxn];
int n,m,cat,mouse;
double dp[maxn][maxn];
struct E{
int to,next;
}edge[maxn];
int head[maxn],tot;
void add(int from,int to){
edge[++tot].to=to;
edge[tot].next=head[from];
head[from]=tot;
}
queue<int> q;
void bfs(int s){
for(register int i=head[s];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
dp[s][v]=1;
for(register int j=head[v];j;j=edge[j].next){
int w=edge[j].to;
if(w==s)continue;
dp[s][w]=1;
}
}
q.push(s);dis[s][s]=0;dp[s][s]=0;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(register int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(dis[s][v]>dis[s][u]+1){
dis[s][v]=dis[s][u]+1;
q.push(v);
}
}
}
}
void init(int from,int to){
int Min=0x7fffffff;
for(register int i=head[from];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(dis[v][to]==Min){
if(v<next[from][to]){
next[from][to]=v;
}
}
if(dis[v][to]<Min){
next[from][to]=v;
Min=dis[v][to];
}
}
}
double dfs(int u,int v){
if(dp[u][v]!=0||u==v){
return dp[u][v];
}
int now=next[next[u][v]][v];
dp[u][v]+=(dfs(now,v)+1)/(degree[v]+1);
for(register int i=head[v];i;i=edge[i].next){
dp[u][v]+=(dfs(now,edge[i].to)+1)/(degree[v]+1);
}
return dp[u][v];
}
int main(){
freopen("cchkk.in","r",stdin);
freopen("cchkk.out","w",stdout);
n=read();m=read();cat=read();mouse=read();
for(register int i=1;i<=m;i++){
int from=read(),to=read();
add(from,to);add(to,from);
degree[from]++;
degree[to]++;
}
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(next,0x3f,sizeof(next));
for(register int i=1;i<=n;i++){
bfs(i);
}
for(register int i=1;i<=n;i++){
for(register int j=1;j<=n;j++){
init(i,j);
}
}
printf("%.3lf\n",dfs(cat,mouse));
return 0;
}
OSU!
一道期望dp题，有思考点。
期望是线性的，上数学课的时候，老师这么跟我们说，我们真正理解这句话了吗，我就没有
公式：\(E(kx+b)=k*E[x]+b\)
我们还知道：期望的平方不等于平方的期望
公式：\(E(x^2)\neq E^2(x)\)
但是：\(E^2(x+1)=E^2(x)+2*E(x)+1\)
别问我证明，但他确实是对的
这道题让求后缀1长度3次方的期望和（不是异或3啊）
转化成立方和公式，然后就好求了。
注意我们的E(x)要定义为“后缀1长度为x的期望”，而不是“后缀1长度为x的期望和”，那个不好转移。
转移方程就是：
\(E(i)=(E(i-1)+1)*p[i]\)
\(E2(i)=(E2[i-1]+2*E[i-1]+1)*p[i]\)
\(dp[i]=(dp[i-1]+3*E2[i-1]+3*E[i-1]+1)*p[i]+(1-p[i])*dp[i-1]\)
这个三次方的概率跟之前的不一样是因为它表示的是前i的期望和，是题目中所求。
比较简单就不放代码了。
守卫者的挑战
语文阅读理解题
本题的题意较难理解，是本题的难点。
一句话题意：有n项挑战，问通过大于等于L项挑战而且所得背包容量大小大于地图数量的概率
转移类似背包，dp[i][j][k]表示第i轮,已经赢了k轮当前背包剩余容量为j的概率（这里j是可以为负的），直接转移，没啥好说的。
记得，第二维可能是负数，需要加一个值保证为正，类似之前考得某个大模拟。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e2+1;
double dp[maxn][2*maxn][maxn],p[maxn];
int mode[maxn];
int main(){
int n,l,k;
scanf("%d%d%d",&n,&l,&k);
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;
scanf("%d",&x);
p[i]=1.0*x/100;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&mode[i]);
}
dp[0][k+200][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=-200;j<=200;j++){
for(int k=0;k<=i;k++){
if(mode[i]>=0){
if(j-mode[i]>=-200)dp[i][j+200][k]+=p[i]*dp[i-1][j+200-mode[i]][k-1];
}else{
if(j+200)dp[i][j+200][k]+=p[i]*dp[i-1][j+200+1][k-1];
}
dp[i][j+200][k]+=(1-p[i])*dp[i-1][j+200][k];
}
}
}
double ans=0;
for(int j=0;j<=200;j++){
for(int k=l;k<=n;k++){
ans+=dp[n][j+200][k];
}
}
printf("%lf",ans);
return 0;
}
Easy
和OSU！是兄弟题，在转移的时候注意下：如果是'o'的话，相当于一个概率为100%的块，'x'的话，相当于一个概率为0%的块，然后这道题是维护后缀1长度平方，比OSU！还简单些。
单选错位
有点i思维但是还是很裸的期望dp。
这道题主要难处理的是每一步的概率，我们可以这样想。
这道题本来有1～a个选项，你答的是1～b中的答案，那答对的概率就是\(\frac{min(a,b)}{a*b}\)，通过公式\(P(A)= \frac{事件A发生的情况}{基本事件总数}\)得出
然后就是裸的dp了，这道题并没有严格的要求从前往后推还是从后往前推，正推即可。
太裸了不放代码了
卡牌游戏
写完这道题感觉对约瑟夫问题的递推公式有了更深的理解。
这道题其实是一个概率+约瑟夫问题，在一般约瑟夫中，我们每轮隔着几个人干掉一个人是确定的，这道题确实有概率的。
沿用约瑟夫问题的想法，倒着推。
定义dp[i][j]还剩i个人，1做庄，第j个人的胜率
只有一个人的时候，dp[1][1]=1;他胜利的概率是100%。
然后转移到下一个，枚举上一个转移过来的牌是啥，推出当前这个j是下一轮的哪个人，再由它的概率乘上这张牌的概率，累加到j的答案里面。
大概是这样的：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double dp[61][61];
int a[60],n,m;
int getd(int i,int k){
k%=i;
return 1+k;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]);
dp[1][1]=1.0;
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
for(int k=1;k<=m;k++){
int d=a[k]%i;
if(d==0)d=i;
//这里的d就是当前的数字a[k]在i那轮是选中了谁干掉，他的下一号重新标记为1号，多手%一下，可以自己推出来剩i个人，从1开始顺时针第a[k]个是谁。
//然后就能推出来j的上一轮，a[k]步之前，它的编号是啥，然后就可以转移了
//约瑟夫问题的每轮重新编号的思想这里需要运用的很纯熟。
if(d>j)dp[i][j]+=dp[i-1][i-(d-j)]/m;
if(d<j)dp[i][j]+=dp[i-1][j-d]/m;
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%.2lf%% ",dp[n][i]*100);
return 0;
}
换教室
期望开始跟图论结合了，vvv。
这道题并不是太难的图论期望题，还是朴素的期望dp，更像dp一些，状态定义和转移比较难。
先考虑没有概率会怎样。
定义dp[i][j][0/1]第i段课，已经换了j节课，当前这节课换没换。
转移就是:
\(dp[i][j][0]=min(dp[i-1][j][1]+d[i-1]+c[i],dp[i-1][j][0]+c[i-1]+c[i]);\)
\(dp[i][j][1]=min(dp[i-1][j-1][1]+d[i-1]+d[i],dp[i-1][j-1][0]+c[i-1]+d[i]);\)
考虑加入了概率会怎样。
每次换课都有可能成功或不成。
所以我们稍微换一下dp定义：dp[i][j][0/1]第i段课，已经申请换了j节课，当前这节课在哪上的。
每次涉及到换课时候，就直接分概率算，每次申请换课都有可能成或不成。
\(dp[i][j][0]=min(dp[i-1][j][0]+c[i-1]+c[i],dp[i-1][j][1]+p[i-1]*(d[i-1]+c[i])+(1-p[i-1])*(c[i-1]+c[i]));\)
显然如果不换课，通过率是100%，那就没概率啥事，要换课，就有可能不成功，所以这么转移。
dp[i][j][1]的转移类似。
\(dp[i][j][1]=min(dp[i][j][1],min(dp[i-1][j-1][0]+p[i]*dis[c[i-1]][d[i]]+(1-p[i])*dis[c[i-1]][c[i]],dp[i-1][j-1][1]+p[i]*p[i-1]*dis[d[i-1]][d[i]]+(1-p[i-1])*(1-p[i])*dis[c[i-1]][c[i]]+(1-p[i])*p[i-1]*dis[d[i-1]][c[i]]+(1-p[i-1])*p[i]*dis[c[i-1]][d[i]]));\)
就是长了一些，类似一些ex的一堆转移柿子的dp题，但是不难理解
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
int x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x;
}
const int maxn=4.5e3l+10;
struct E{
int to,val,next;
}edge[5*maxn];
int head[maxn],tot;
void add(int from,int to,int val){
edge[++tot].to=to;
edge[tot].val=val;
edge[tot].next=head[from];
head[from]=tot;
}
double dp[maxn][maxn][2],p[maxn];
int n,m,v,e,c[maxn],d[maxn];
int dis[maxn][maxn],vis[maxn],val[maxn][maxn];
queue<int> q;
void spfa(int s){
dis[s][s]=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));q.push(s);
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(dis[s][v]>dis[s][u]+edge[i].val){
dis[s][v]=dis[s][u]+edge[i].val;
if(!vis[v]){
q.push(v);
vis[v]=1;
}
}
}
}
}
int main(){
n=read();m=read();v=read();e=read();
for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);memset(val,0x3f,sizeof(val));
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
for(int i=1;i<=e;i++){
int from=read(),to=read(),val=read();
add(from,to,val);add(to,from,val);
dis[from][to]=dis[to][from]=min(val,dis[from][to]);
}
for(int i=1;i<=v;i++){
dis[i][i]=0;
}
for(int i=1;i<=v;i++){
for(int j=1;j<=v;j++){
for(int k=1;k<=v;k++){
dis[j][k]=min(dis[j][k],dis[j][i]+dis[i][k]);
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=0x3f3f3f3f;
}
}
dp[1][0][0]=dp[1][1][1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
dp[i][0][0]=dp[i-1][0][0]+dis[c[i-1]][c[i]];
for(int j=1;j<=m;j++){
int pos1=c[i-1],pos2=d[i-1],pos3=c[i],pos4=d[i];
dp[i][j][0]=min(dp[i][j][0],min(dp[i-1][j][0]+dis[pos1][pos3],dp[i-1][j][1]+p[i-1]*dis[pos2][pos3]+(1-p[i-1])*dis[pos1][pos3]));
dp[i][j][1]=min(dp[i][j][1],min(dp[i-1][j-1][0]+p[i]*dis[pos1][pos4]+(1-p[i])*dis[pos1][pos3],dp[i-1][j-1][1]+p[i]*p[i-1]*dis[pos2][pos4]+(1-p[i-1])*(1-p[i])*dis[pos1][pos3]+(1-p[i])*p[i-1]*dis[pos2][pos3]+(1-p[i-1])*p[i]*dis[pos1][pos4]));
}
}
double ans=0x3f3f3f3f;
for(int j=0;j<=m;j++){
ans=min(ans,min(dp[n][j][1],dp[n][j][0]));
}
printf("%.2lf\n",ans);
return 0;
}
奖励关
阅读理解题2
题意又是不很好理解，而且就算理解了思维量也不小。
但是还是逃不出期望dp的范畴，好好想想怎么定义，怎么转移，题目是难不倒我们的！
先翻译题面：
每次有\(\frac{1}{n}\)几率扔出来一个东西，你可以选择捡或不捡（吃还是不吃什么的太奇怪了！）
然后你每捡一个东西，都会加一个值，值可正可负，然后一个物品被捡有前提条件，就是不满足前提条件就不允许捡ta。
问最大的期望。
注意本题n<=15，小的离谱，直接状压搞上,定义dp[i][S]表示第i轮状态为S的期望得分
我们沿用期望dp倒推的思路，考虑每个i，S怎么被转移。
枚举每个被扔出来的物品，它会对这次得分造成一定贡献。
- 如果被扔出来的物品，已经满足它的前提条件，那么我们可以把它塞到现在的答案里，也可能不塞，用类似背包的思路，直接对两种情况取max转移：
\(dp[i][S]+=\sum\limits_{x}^{x\in(1～n)}\frac{1}{n}max(dp[i+1][S],dp[i+1][S|1<<(x-1)]+score[x]);\)
x是枚举的当前蹦出来的那个。 - 如果扔出来的物品，没满足前提条件，那就没法要它的分，直接由dp[i+1][S]转移过来即可。
然后就没了，直接转移就可以得出正确的答案了。最后答案就是dp[1][0]。
码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
double dp[110][maxn];
int pre[maxn],sc[maxn];
int n,k;
int main(){
scanf("%d%d",&k,&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&sc[i]);
int x;
while(1){
scanf("%d",&x);
if(x==0)break;
else pre[i]|=(1<<x-1);
}
}
int Max=(1<<n)-1;
for(int i=k;i>=1;i--){
for(int S=0;S<=Max;S++){
for(int j=1;j<=n;j++){
int now=1<<j-1;
if((pre[j]&S)==pre[j]){
dp[i][S]+=max(dp[i+1][S],(dp[i+1][S|now]+sc[j]))/n;
}else{
dp[i][S]+=dp[i+1][S]/n;
}
}
}
}
printf("%.6lf\n",dp[1][0]);
return 0;
}
游走
这道题是期望与高斯消元的结合(历史性的会面)之后他俩会经常放在一起ex我们。
这道题主要的思路就是：
求边的期望-->求点的期望-->高斯消元求解-->反推边的期望
几个前备知识：
首先，我们知道边的期望经过次数，等于它端点的期望经过次数×(1/端点的度数)
这挺显然的，一个边只有可能由它的两个端点走过来，那它的期望也一定是两个端点的期望乘上他们经过这条边的概率（如题，就是度数分之一）
接着，我们考虑点的期望怎么求。
一个点只有可能从与它相邻的点转移过来，所以类比上面的结论，一个点的期望，就等于它的邻接点们的期望，乘以它邻接点各自转移过来的概率。
所以，综上我们可以得出一个方程式子：(E表示期望)
\(E(u)= \sum\limits_{v}^{edge(u,v)\in m}\frac{1}{degree[v]}\)
注意：1和n这两个点需要特判，1这个点作为起点，默认已经经过一次，n这个点到这就不会在走，所以他不会去更新它邻接点的答案。也就是说计算一个点的期望时，如果它的邻接点有n，不算1/degree[n]这个值。
接下来，考虑得出这个柿子后，怎么求出每个dp的确定值。
首先：类似dp转移的那种方法肯定不行，每个点都会对别的点有贡献，别的点也会对这个点有贡献，这会出现环，dp转移会转移死循。
所以这道题求出每个点的期望的方法就是解方程辣。
根据上面的柿子，我们发现每个点的期望都最多只会加上n-2个点的期望乘概率，而n的范围允许我们\(n^3\)做，那么就把每个点的转移写成\(a*E[1]+b*E[2]+c*E[3]+d*E[4]+……=x\)的形式，然后发现这是一个矩阵是(n-1)*n的n-1元方程，（不用算n这个点的期望，因为它不会给点贡献期望，所以也不会给边贡献期望），高斯消元即可。
最后统计一下每条边的期望值，从大到小排个序，分别标号1~m然后就出结果了。
