floyd最短路

floyd可以在O(n^{3)的时间复杂度,O(n}2)的空间复杂度下求解正权图中任意两点间的最短路长度.
本质是动态规划.
定义f[k][i][j]表示从i出发,途中只允许经过编号小于等于k的点时的最短路.(i,j可以大于k但i到j的路径上的其他点必须编号小于等于k).
转移时从第k层的DP数组f[k][][]求解第k+1层的DP数组f[k+1][i][j].
不妨将f[k+1][][]全部初始化为inf(一个足够大的值,可以是1000000,0x3f3f3f3f,或者其他的东西).
一条路径如果保证中转的点编号小于等于k,那么一定也满足经过的点的编号小于等于k+1.于是可以先将上一层的dp数组直接复制到第k+1层,f[k+1][i][j]=f[k][i][j].
接下来考虑经过了第k+1个点作为中转点的最短路.我们枚举(i,j),i!=k+1,j!=k+1,然后令f[k+1][i][j]=min(f[k+1][i][j],f[k][i][k+1]+f[k][k+1][j]).
直接这么写的空间复杂度是O(n^{3),接下来我们把空间压到O(n}2).i,j这两维都是压不掉的,所以我们把k这一维压掉.
f[i][j]现在存的是f[k][i][j].接下来我们把f[i][j]进行更新使得它里面的数值变为f[k+1][i][j].
注意正权图的最短路中显然没有环,那么f[k][k+1][i]和f[k][k][i]的数值是相等的,f[k][i][k+1]和f[k+1][i][k+1]的数值也是相等的.(起点/终点当中有一个点是k+1,那么在中转点中允许经过k+1不会让这个最短路变短).也就是说,从f[k][][]转移到f[k+1][][]的时候,第k+1行和第k+1列都是不需要更新的.
而f[k+1][i][j]=min(f[k+1][i][j],f[k][i][k+1]+f[k][k+1][j]).用到的正是f[k][][]的第k+1行和第k+1列.
那么我们只需用f[i][j]的第k+1行第k+1列去更新其他行列的位置,就完成了f[k][i][j]到f[k+1][i][j]的转移.
于是我们得到了floyd算法的经典实现:

for(int k=1;k<=n;++k)//n为图的点数
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j])

另一种实现:

for(int k=0;k<n;++k)
    for(int i=0;i<n;++i)
	for(int j=0;j<n;++j)
	    if(i!=k&&j!=k&&i!=j)f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

不判断i,j,k是否相等也不会影响结果的正确性.当然i,j,k出现相等时这样的转移没有什么实际意义.
如何初始化?如果i到j有一条长度为w的边那么我们把f[i][j]赋值为w.如果i到j没有边我们将f[i][j]赋值为inf,认为从i到j有一条长度大到不影响结果的边(inf是一个对于数据范围来说足够大的值.当用int存储f[i][j]的时候inf常用0x3f3f3f3f.如果将inf取值为0x7f7f7f7f,将容易导致int加法溢出).
f[i][i]如何初始化?实际上,将f[i][i]初始化为任何值都不会影响floyd算法的正确性.为了统一性起见,一般把f[i][i]初始化为0.从i出发不需要走任何边就能到达i.

计算从i到j的长度等于最短路的路径条数g[i][j]?bzoj1491[NOI2007]社交网络
定义g[k][i][j]表示从i到j,允许经过编号小于等于k的点,长度等于f[k][i][j]的路径条数,转移的时候需要考虑f[k][i][j]的数值是否等于f[k+1][i][j]然后进行讨论.g[k][i][j]也可以变成二维数组g[i][j].

dp的顺序一定是从1到n吗?luogu2966[USACO09DEC]牛收费路径
实际上我们枚举k的顺序可以改变,例如随便取一个1到n的排列,定义f[k][i][j]为允许以排列中前k个点作为中转点时i到j的最短路.对于Tolls这个题就是按照点权顺序.

求有向图中的最小环?(一个边权和最小的回路)vijos1423最佳路线
环上至少有两个点.枚举i,j,用f[i][j]+f[j][i]更新答案即可.如果必须经过点1,那么用f[1][i]+f[i][1]更新答案.(必须经过点1的时候,其实只需在原图和所有边反向的图上各从1出发跑一遍dijkstra)

求无向图最小环?(不允许重复经过同一条边,例如从1走到2再从2走回1不是一个环)
不能直接套用有向图最小环算法.
由于无向图中的最小环至少包含三个点,所以我们可以O(n^3)枚举三个点:首先枚举环中编号最大的点k然后枚举和k相邻的两个点i,j(要求k,i之间,k,j之间必须有边).那么i和j之间怎样连接?因为我们需要让k成为编号最大的点,那么i和j之间的路径长度只能是f[k][i][j].因此我们在floyd枚举的过程中更新到f[k][i][j]时统计以k作为编号最大的点的最小环.