力扣378(java&python)-有序矩阵中第 K 小的元素（中等）

题目：

给你一个 n x n 矩阵 matrix ，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

你必须找到一个内存复杂度优于 O(n2) 的解决方案。

 示例 1：

输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8
输出：13
解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13
示例 2：

输入：matrix = [[-5]], k = 1
输出：-5
 

提示：

• n == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= n <= 300
• -10⁹ <= matrix[i][j] <= 10⁹
• 题目数据 保证 matrix 中的所有行和列都按 非递减顺序 排列
• 1 <= k <= n²

进阶：

• 你能否用一个恒定的内存(即 O(1) 内存复杂度)来解决这个问题?
• 你能在 O(n) 的时间复杂度下解决这个问题吗?这个方法对于面试来说可能太超前了，但是你会发现阅读这篇文章（ this paper ）很有趣。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix
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解题思路：

【二分查找】

根据题意得知二维矩阵从左向右依次递增，从上到小依次递增，故可得知， matrix[0][0]是最小值， matrix[n-1][n-1]是最大值。所需找的第k小的元素一定在最大值与最小值这个区间中， 现在将题目意思转换为在一个有序范围中查找值，可以考虑使用二分查找。

让 left =  matrix[0][0]，right =  matrix[n-1][n-1]，计算出mid的值，这样矩阵就会以mid为界限，分为两个部分。一部分元素是小于等于mid的部分，一部分是大于mid的部分。然后就需要判断第k小的元素到底在哪一个部分？（这样就可以明白，在较小的部分中至少应该有k个元素）

找比mid小的元素怎么找：

• 初始位置在 matrix[n - 1][0]（即左下角）；
• 设当前位置为 matrix[i][j]，若 matrix[i][j] ≤ mid，则此元素及上方所有元素都是比mid 小的数，计算出这一列比mid小的元素累加到count中，并继续向右移动，否则，matrix[i][j] > mid，就需要向上移动才可能能找到比mid小的元素了；
• 不断移动直到走出格子为止。

比较count 与 k（二分查找）:

• 循环条件：left < right, mid = left + (right - left) / 2；
• 如果count >= k，说明小元素部分的范围太大了（count==k时，表示刚好），则需要缩小 小元素的范围，即right = mid;
• 如果count < k，说明小元素部分的范围太小了，则需要扩大 小元素的范围，即left = mid + 1；
• 循环结束时：left == right，left或者right即为答案。

java代码：

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int n = matrix.length;
        int left = matrix[0][0], right = matrix[n - 1][n - 1];
        while(left < right){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (check(matrix, mid, k)){
                //true:count < k
                left = mid + 1;
            }else{
                //flase:count >= k
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
    public boolean check(int[][] matrix, int mid, int k){
        int n = matrix.length;
        int i = n-1, j = 0;
        int count = 0;
        while (i >= 0 && j < n){
            if (matrix[i][j] <= mid){
                //当前元素小于等于mid,则当前元素及改列上方的元素都小于mid
                count += i + 1;
                //继续向右移动
                j += 1;
            }else{
                //否则，向上查找小于mid的元素
                i -= 1;
            }
        }
        return count < k;
    }
}

 python3代码：

class Solution:
    def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
        n = len(matrix)
        def check(mid):
            i, j, count = n-1, 0, 0
            while i >= 0 and j < n:
                if matrix[i][j] <= mid:
                    count += i + 1
                    j += 1
                else:
                    i -= 1
            return count < k
        left, right = matrix[0][0], matrix[n-1][n-1]
        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if check(mid):
                left = mid + 1
            else:
                right = mid
        return left