【Black-Panda】LCA最近公共祖先

1. 定义：

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点 $x$ 和 $y$ 最近的公共祖先（深度最大的祖先），记为：$LCA(x,y)$。

举例：

• $LCA(15,12)=4$
• $LCA(10,12)=10$

图例：

作用：能在 $log(n)$ 解决从 $u$ 到 $v$ 的路线问题。

2. 求解：

方法一：向上标记法（暴力求解）

• 从 $x$ 向上走到根节点，并标记所有走过的结点。

• 从 $y$ 走到根，当第一次遇到有标记的结点时，就找到了 $LCA(x,y)$。

• 最坏时间 $O(n)$。

• 给出代码片段：

int LCA(int x,int y){
	while(x>0)vis[x]=1,x=fa[x];
	while(y>0 && !vis[y])y=fa[y];
	return y;
}

方法二：暴力优化

• 用 $fa[i]$ 记录 $i$ 的父亲结点。

• 首先将 $x$ 和 $y$ 中深度较深的那个点跳到和较浅的点同样的深度。

• 然后两个点一起一步一步向上跳，直到跳到同一个点 $p$，就是它们的 $LCA$。

• 复杂度：最坏情况 $O(o)$，适合只计算一次 $LCA(x,y)$。

  $p=LCA(x,y)$

• 结点深度：$d[x],d[y]$

• $x$ 向上走 $d[x]-d[p]$

  $y$ 向上走 $d[y]-d[p]$

• 实现方法：$u$ 和 $v$ 深度大的向上走 $|d[x]-d[y]|$，再一起一步一步向上走，直到走到同一个结点 $p$。

• 时间：$O(d[x]+d[y])$

• 存储：有向图的邻接表

vector<int> G[maxn];
int fa[maxn];
int d[maxn];

• 深度优先遍历，同时求 $fa[]$

$dfs(root,1);$

void dfs(int u,int depth){
	d[u]=depth;
	int m=G[u].size();
	for(int i=0;i<m;i++){
		int v=G[u][i];
		dfs(v,depth+1);
	}
}

• 参考代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;

vector<int> G[maxn];
int fa[maxn],d[maxn],n,m,s;

void dfs(int u,int p,int depth){
	d[u]=depth;
	fa[u]=p;
	for(int i=0;i<G[u].size();i++){
		int v=G[u][i];
		if(v!=p)	dfs(v,u,depth+1);
	}
}

int LCA(int x,int y){
	while(d[x]>d[y])	x=fa[x];
	while(d[x]<d[y])	y=fa[y];
	while(x!=y){
		x=fa[x];y=fa[y];
	}
	return x;
}

int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	int u,v;
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	dfs(s,-1,1);
	for(int i=0;i<m;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		printf("%d\n",LCA(u,v));
	}
	return 0;
}

方法三：二进制拆分思想（倍增）

求 $LCA(x,y)$ 的步骤：

1. 设 $d[x]$ 表示 $x$ 的深度。假设 $d[x]>=d[y]$ （否则可以交换 $x$ 和 $y$）。
2. 利用二进制拆分思想，把 $x$ 向上调整到 $y$ 同一高度。
3. $x$ 向上走 $i=2^{log_n},...,2^1,2^0$ 步，检查 $x$ 到达的节点是否比 $y$ 深，若是则 $x=fa[x][i]$。
4. 如果 $x=y$，$LCA(x,y)=y$。
5. 利用二进制思想，$x$ 和 $y$ 同时往上跳，并保持深度一致且二者$\color{#ff0000}{\text{不相遇}}$。
6. $x$ 和 $y$ 同时向上走 $i=2^{log_n},...,2^1,2^0$ 步。
7. 如果 $fa[x][i]!=fa[y][i]$，则 $x=fa[x][i],y=fa[y][i]$。
8. 此时只差一步就得相遇了，它们的父亲节点 $fa[x][0]$（或$fa[y][0]$），就是 $LCA(x,y)$。

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