欧拉函数

数论的课题！欧拉函数，虽然现在还没体现出它的作用来，不过貌似很重要！

自己看书没有弄太懂！上网找别人的理解！看到一份不错的！贴过来！大家分享一下

定义：    对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目；
                例如: φ(8) = 4, 因为1，3，5，7均和8互质。
性质：  1.    若p是质数，φ（p）= p-1.
               2.    若n是质数p的k次幂，φ（n）= （p-1）p^(k-1)   
                        因为除了p的倍数都与n互质
               3.    欧拉函数是积性函数，若m，n互质，φ（mn）= φ(m)φ(n)
               根据这3条性质我们就可以退出一个整数的欧拉函数的公式，因为一个数总可以一些质数的乘积的形式。
               E(k) = (p1-1)(p2-1)…(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))…(pi^(ai-1))
                        = k*(p1-1)(p2-1)…(pi-1)/(p1*p2*…pi)
                        = k*(1-1/p1)*(1-1/p2)…(1-1/pk)
在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素) 
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;          
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

 

void init()  
{  
    __int64 i,j;  
    e[1]=1;  
    for(i=2;i<=N;i++)  
        if(!e[i])  
        {               
            for(j=i;j<=N;j+=i)  
            {      
                if(!e[j])  
                    e[j]=j;  
                e[j]=e[j]/i*(i-1);  
            }      
        }  
}               //第一种代码，简单易用！  
void init()
{
	__int64 i,j;
	e[1]=1;
	for(i=2;i<=N;i++)
        if(!e[i])
		{             
			for(j=i;j<=N;j+=i)
            {    
                if(!e[j])
					e[j]=j;
				e[j]=e[j]/i*(i-1);
			}    
        }
}               //第一种代码，简单易用！ 

 

 

 

 

 

//第二种是素数筛选法 有点麻烦！   
void init()  
{  
    __int64 i, j;  
      
    p[0] =1; //记录素数个数   
    p[1] =2;  
    for (i=3; i<N; i+=2)  
    {  
        if (hash[i])  
            continue;  
        p[++p[0]] = i;  
        for (j=i*i; j<N; j+=i)  
            hash[j] =true;  
    } //筛素数   
      
    e[1] =1;  
  
    for (i=1; i<=p[0]; i++)  
        e[p[i]] = p[i] -1; //初始化素数的phi   
  
    for (i=2; i<N; i++)  
    {  
        if(!e[i])  
        {  
            for (j=1; j<=p[0]; j++)  
                if (i % p[j]==0)  
                {  
                    if (i / p[j] % p[j])  
                        e[i] = e[i / p[j]] * e[p[j]];  
                    else  
                        e[i] = e[i / p[j] ]* p[j];  
                    break;  
                } // 利用上述性质求解   
        }          
    }  
    return ;  
}  

 

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