网络流之最小割

网络流之最小割（参考《挑战程序设计竞赛》）

    上一篇关于最大流总结中，关于最大流正确性的证明只是逻辑上的理解与思考。下面需要讨论一下关于最大流正确性的严格证明。

    最小割问题与之前的最大流问题有着很深的联系。

    假设在原图中，删掉某些边，能够使得从s出发到不了t，则这些边的集合被称作图的割。

    定义在残余网络中，从s及s出发可达的点v组成的集合为S，其余点组成的集合为T。

    定义最小割，为容量和最小的割。

    由算法可知，对于任意流f而言，（f的流量）= (S的出边总流量)-（S的入边总流量），由此可知，(f的流量)<=(最小割容量)。

    那么，如果能够证明，最大流等于最小割，则就可以证明最大流为最优解了。

    如何证明？如果在残余网络中的S-T路径中，仍然存在流量上限不为0的正向边，则答案可以更优。然而这种情况是不存在的。由S集合的定义可知，如果存在这样的边，则那条路径的端点都应在S集合。类似的，T-S路径中，流量上限不为0的反向边也是不存在的。

    因此，最大流就等于最小割，证明了Ford-Fulkerson的正确性。该性质被叫做最大流最小割定理。因此，在遇到求解最小割的题目时，就可以用求解最大流的办法来做了。

    但值得注意的是，对最小割方案的打印，与最大流不同（本身原理就不同，只不过值相等）。我们割的那些边，实际就是残余网络中从S集合连向T集合的边，即左端点被访问过，右端点未被访问过的边。