POJ 3417
题意
给定1棵点数为\(n\)的树和\(m\)条附加边。
询问砍掉1条树边和1条附加边，使得该图不连通的方案数。
\(1 \leq n \leq 10^5 , 0 \leq m \leq 10^5\)
解法1
考虑枚举砍掉的树边，若不考虑附加边原图变成2个联通块，则问题转化为询问连接这2个联通块的附加边边数。若有0条则有\(m\)种方案，若有1条则有1种方案，若多于1条则有0种方案。
这2个联通块中，至少有1个是原树的子树。考虑求出DFS序\([x,y]\)，则问题转化为区间问题。具体地，将附加边视为二元组\((a,b)\)，则问题转化为求解\((a < x且b \in[x,y]) ||(a \in[x,y]且b > y)\)的二元组数目。
二维偏序问题，考虑离线处理。将二元组和区间分别排序。第1次从前往后扫，使得已有的二元组均满足\(b <= y\)；累加\(a < x\)的二元组数目，减去\(b < x\)的二元组数目；一维偏序仅用树状数组可以简单维护。类似的，从后往前再扫1遍即可得解。时间复杂度\(O((n + m)logn)\)。代码见此
解法2
考虑1条附加边\((x,y)\)的影响：令树上\(x \rightarrow y\)的点形成1个环。这意味着，如果断掉\(x \rightarrow y\)上的任1条树边，则一定还需要断掉这条附加边才能令原图不连通。
由此，我们可以将附加边\((x,y)\)的作用视为将\(x \rightarrow y\)的树边”覆盖“了1次。若1条树边被覆盖0次，则断它之后任意选择附加边断；若被覆盖1次，则断掉覆盖它的那条附加边；若被覆盖1次以上，则没有合法方案。
将被覆盖次数视为边权，问题转化为如何快速为树上一条路径边权增加一。由于仅最后需要查询，不妨使用树上差分的技巧。即两点间路径边权/点权统一增值时，仅在两点的差分数组上增值，在两点的\(lca\)的差分数组上减回。差分数组的子树和即为实际边权/点权大小。
复杂度取决于\(lca\)的实现方式，使用\(Tarjan\)算法可以接近\(O(n + m)\)；倍增算法则为\(O((n + m)logn)\)。
\(Tarjan\)算法：[代码见此](https://github.com/littlewyy/OI/blob/master/poj 3417.cpp)
\(lca\)的Tarjan算法
基于\(dfs\)的离线算法。将已访问但尚未回溯的点标记为1，将已访问且已回溯的点标记为2；则访问\(x\)时，\(x\)的所有祖先的标记都为\(1\)；若在\(x\)上的询问中，另1顶点\(y\)的标记为2，则询问\((x,y)\)的答案即为从\(y\)向上跳父亲到达的第1个标记为\(1\)的点；通过并查集的路径压缩保证跳父亲的时间复杂度。
