luogu 1099 / bzoj 1999
题意
给定1棵无根树，树边有正边权。
点路距\(D(u,F)\)：最小化点点距
偏心距\(ECC(F)\)：最大化点路距
现在限制\(F\)属于原树直径，且\(F\)的长度小于等于\(s\)，求最小化偏心距。
对于\(30\)%的数据，\(5 \leq n \leq 300\)
对于\(100\)%的数据，\(5 \leq n \leq 5 \times 10^5\)
题解
这是什么神仙毒瘤题！
暴力选手：
限制\(F\)属于原树直径？原树直径这么多条，难道逐一找出再做？
干脆直接枚举\(F\)的两端点，并将\(F\)上节点标记为不可访问。从两端点进行\(DFS\)求得最长距离即可判定能否得到直径。若能得到直径，则求偏心距。
偏心距是最大的点路距，而点路距的本质是该点到该路径上，既不经过重复的边也不经过该路径上的边，故可以转化成从该路径上的节点向外\(DFS\)得到。时间复杂度：\(O(n^3)\)。
优秀选手：
原树直径有多条不好做？我先来大胆猜想一发，考虑任意一条直径都是等价的。
证明？读者自证不难。
性质1，1棵树中，任意两条直径都是相交的
假设两条直径不相交，一定存在某条简单路径将两条直径连起来。形如此：
选择其中最长的两条分链加上用于连接的简单路径，会得到一条更长的直径，与假设矛盾。
性质2，各条直径在不相交的两端，长度分别相等（感谢::Dash::）
考虑两条直径AB和CD，它们的重叠部分为EF。
直径最长，新的组合长度不能超过直径长度。因此\(DF = BF,AE = EC\)。
推论：在任意一条直径上求最小偏心距都是等价的
偏心距的定义为所有点到已选定路径的距离最大值。本质上是路径上各点到非路径上各点的距离最大值。
根据直径的最长性，偏心距为路径上的点到某个直径端点的距离的最大值。
当选取的路径不包含公共部分时，举个栗子，在\(AE\)上取点\(P,Q\)（\(Q\)更靠\(E\)），则偏心距为\(max(CQ,DQ)\)。
当选取的路径包含公共部分时，举个栗子，在\(AE\)上取点\(P\)，\(BF\)上取点\(Q\)时，偏心距为\(max(CE,DF)\)。同理，\(CE\)上取点\(P\)，\(DF\)上取点\(Q\)，那么偏心距为\(max(AE,BF)\)。根据\(AE = CE\)且\(BF = DF\)，无论端点取在哪一条直径上，偏心距都相等。
两种情况进行比对，举在\(AB\)上取路径的栗子来说，由于\(CQ > CE且DQ > DF\)，端点都取在\(AE\)上一定不如1个取在\(AE\)上1个取在\(BF\)上优。同理，端点取在任意非公共部分的结果一定不优于包含公共部分的结果，即使枚举了也不可能纳入最优解中。真正纳入最优解的包含公共部分的情况偏心距又相等，因此在任意一条直径上求最小偏心距都是等价的。
由上述论证也可以发现，假设我们固定路径在直径上的左端点，那么右端点离左端点越远越好。枚举路径左端点，贪心地求出路径长度在\(s\)之内时的最右端点，再\(DFS\)计算偏心距即可。时间复杂度\(O(n^2)\)。
一种优化方法是考虑答案的单调性。
一条路径的偏心距，等于该路径两端点与其所在直径两端点的距离 与 该路径上点不经过所在直径上点 到达 非所在直径上点的距离 的最大值。由此可知，对于答案而言，路径端点离直径端点越近越好；但又需要保证两端点距离不超过\(s\)，故不能离直径端点太近。
不妨采用二分答案的技巧，二分\(mid\)表示偏心距大小，判断偏心距能否不超过\(mid\)。具体地，从两个端点各自开始，在与直径端点距离不超过\(mid\)的前提下不断向中心移动；移动完毕后\(DFS\)求偏心距，若偏心距小于等于\(mid\)且两端点距离小于等于\(s\)，则说明\(mid\)合法，\(hi = mid\)；否则不合法，\(lo = mid\)。时间复杂度\(O(log(\sum v)(n + m))\)。
另一种优化方法，保留\(O(n^2)\)解法中端点双指针移动的过程，优化求解偏心距的过程，即不进行重复的\(DFS\)。
上文也提到，偏心距仅由两部分组成，一种是路径端点到选定直径的端点的距离，每次可以\(O(1)\)求解；另一种是路径上的各个点 不经过选定直径上的点 到达的最远点距 的最大值，不难发现 各点 不经过选定直径上的点 到达的最远点距只与你选定的直径有关，与你选择的路径端点无关，只需1次\(DFS\)即可求得，设为\(d[u]\)。
设选定直径上点为\(u_1...u_t\)，选定的路径端点为\(u_i,u_j\)，偏心距为\(max(max(d[u_i \rightarrow u_j]),dis(1,u_i),dis(u_j,u_t))\)局部最大值\(max(d[u_i \rightarrow u_j])\)使用单调队列维护，时间复杂度\(O(n)\) 。
进一步优化。结合推论的证明可以发现，当\(max(d[u_i \rightarrow u_j])\)成为答案时，路径一定包含了直径的公共部分，偏心距大小是个定值，不随路径端点的改变而改变；故求解式\(max(max(d[u_1 \rightarrow u_t]),dis(1,u_i),dis(u_j,t))\)能够保证答案的正确性，且只需维护1个变量，效率更高。时间复杂度\(O(n)\)。
[代码见此](https://github.com/littlewyy/OI/blob/master/luogu 1099.cpp)
