差分法在区间操作中的应用
前言
对于许多区间操作的题目，差分是普遍且好用的技巧，在此做个归纳整理。
例题1
题意
给定1个长度为\(n\)的01数组，其中1的个数为\(k\)。
你可以进行\(m\)种操作，第\(i\)种操作的长度为\(l_i\)，表示可以将长度为\(l_i\)的区间异或1。
询问最少需要多少次操作，使得整个数组变成0。
\(1 \leq k \leq 8 , 1 \leq n \leq 4 \times10 ^4 , 1 \leq m \leq 64\)
题解
直接做的话是没法做的，对整个区间异或，各区间相互交叉影响复杂，无从入手。
考虑转化问题，将区间异或转化成对区间端点的异或。即广为人知的差分思想，便于简化问题。
具体地，可以结合异或的性质进行处理。假设我们求出原数组的差分数组（即\(d[i] = a[i] xor a[i - 1]\)）；那么我们对原数组的区间\([l,r]\)进行异或可以等价于\(d[l] = d[l] xor 1 , d[r + 1] = d[r + 1] xor 1\)，目标结果\(a[1 \rightarrow n] = 0\)可以等价于\(d[1 \rightarrow n + 1] = 0\)。
由此，问题得以转化：在1个01数组上有不超过\(2k \leq 16\)个1。每次操作可以选择其中的两个位置\(x,y\)，令\(d[x] = d[x] xor 1 , d[y] = d[y] xor 1\)，前提是\(y - x \in L\)。询问最少操作次数，令\(d[i]\)全部为0。
1的个数很少，因而不难想到1个状压dp的框架，设\(f[s]\)表示将\(s\)集合的1全部变成0的最小操作次数，转移时先找到第1个1，枚举哪1个1跟它匹配，相应转移。复杂度\(O(s \times 2k)\)。
问题转化为如何计算任意2个1都变为0的最小代价。
有一种看起来相当有理有据的做法。不妨从\(y - x \in L\)进行迁移，若\(y - x = l_1 + l_2\)，同样可以相消，依据是1个位置异或2次不变，故可以实现区间的拼接；类推下去，我们可以将\(L\)集合看作若干物品，有\(l_i\)和$-l_i \(两种价值，求解填充\)y - x$的最少物品数目。但存在某些严重的问题（感谢Epworth），我们做完全背包时，对于正价值和负价值的物品是要分开处理的，这样一来我们没法确定价值上限；另外，即使价值上限开得足够大也是错的，因为我们实际的翻转，左端点不能小于1，右端点不能大于n + 1，而基于相对位置的方案则没有考虑这一点，没法根据绝对位置进行调整。因而是错误的。
假若两个1之间可以使用1次规则，则最小代价为1；否则这2个1需要若干个规则联合消去。具体地，若1个规则应用于1个0和1个1上，则相当于将1传到了0的位置上，则问题转化为该1新的位置与另1个1匹配。可以发现该问题具有传递性，可以构图处理。具体地，我们从各个位置出发，根据已有的规则将其与可匹配位置连边；则两个位置间的最小代价即为这两个位置在图上的最短路径长度，由于边权全部为1，可用BFS处理，时间复杂度\(O(2knm)\)。
[代码见此](https://github.com/littlewyy/OI/blob/master/luogu 3943.cpp)
练习1
题意
给定1个长度为\(n\)的序列，你每次可以选定1个任意长度的区间，使得整个区间加1或减1。
询问最少的操作次数，使得整个区间全部相同。并询问在操作次数最少的前提下，最终数列的数的种类数。
\(1 \leq n \leq 10^5\)
题解
首先求出原数组的差分数组\(diff[i] = a[i] - a[i - 1]\)；区间加可转换为\(diff[l] ++,diff[r + 1] --\)，区间减可转化为\(diff[l] -- , diff[r + 1] ++\)。当\(r = n\)时，仅\(diff[l] --\)有效。
最终目的是\(diff[1] = a[1] ,\forall i \in[2,n] ,diff[i] = 0\)，求最小操作次数。
考虑每次操作的影响：\(l = 1\)时没有意义；\(l \neq 1 且 r \neq n\)时可以改变2个\(diff\)；\(l \neq 1且l = n\)可以改变1个\(diff\)。
各个元素是独立的，当\(diff\)变为0时就没有操作的必要。故优先考虑双向成全的操作，即对1个正数和1个负数进行操作；最终只剩下正数或只剩下负数时，再用\(l \neq 1且l = n\)进行处理，即可知最小操作次数。公式可以\(O(n)\)求，即\(diff[2 \rightarrow n]\)中，正数的之和\(up\)与负数之和\(dow\)的绝对值的最大值。
考虑改动\(diff[1]\)的情况，\(diff[1]\)每变化1，至多能使\(diff[2 \rightarrow n]\) 的操作次数减1，总操作次数不变。具体地，设\(lim = abs(up + dow)\) ，若\(diff[1]\)的变化量小于等于\(lim\)，则总操作次数不变；否则总操作次数一定变大。
最优解的方案数为\(lim + 1\)。时间复杂度\(O(n)\)。[代码见此](https://github.com/littlewyy/OI/blob/master/luogu 4552.cpp)
练习2
题意
给定1个长度为\(n\)的整数序列\(a\)。你可以进行若干次操作，每次操作可以令\([l,r]\)减少1。询问至少需要多少次操作，使得\(a[1 \rightarrow n] = 0\)。\(1 \leq n \leq 10^5\) 。
题解
首先求出原序列的差分数组\(diff[1 \rightarrow n]\)，则原问题等价于每次操作令\(diff[l] -- , diff[r + 1] ++\)，求解最小化操作次数令\(diff[1 \rightarrow n + 1] = 0\)。
1次操作至多改变2个\(diff\)值，考虑贪心，令每次操作最大程度地得到利用：同时令\(diff[l]\)和\(diff[r + 1]\)向0靠拢，当\(diff[l] > 0\)且\(diff[r + 1] < 0\)时可以做到。
具体地，从前往后扫描差分数组，若为正数则将其减到0并累加次数，并相应地将后面的负数依次增到0。保证最后能将整个数组消成\(0\)，依据是\(\sum _{i = 1}^{n + 1} diff[i] = 0\)，且操作不影响\(diff\)总和的大小。
时间复杂度\(O(n)\)，[代码见此](https://github.com/littlewyy/OI/blob/master/luogu 1969.cpp)
