bzoj 2457

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题意

依次处理给定的\(n\)个数，对于每个数，能做以下两件事：

1．新建一个双端队列，并将当前数作为这个队列中的唯一的数；

2．将当前数放入已有的队列的头之前或者尾之后。

对所有的数处理完成之后，要求这些队列排序后可以得到一个非降的序列。

求解最少需要的双端队列数。\(1 \leq n \leq2 \times10^5\)

心路历程

1个双端队列合法，（假设没有相等元素，设首个入队的数为\(first\)）当且仅当大于\(first\)的数由小到大，其在原操作序列中的下标由小到大；小于\(first\)的数由小到大，其在原操作序列中的下标由大到小。

并且所有双端队列连缀起来非降，故各个队列内部不能出现断层。

假如没有相等的元素，很容易得到每个双端队列的极大情况，当每个双端序列都取极大情况时答案自然最小。

假如有相等的元素，意味着与\(first\)相同的元素取的个数不定，放的位置不定，感觉情况很多，并不会做。

题解

将原数组按照数值大小排序。假设确定了各个双端队列的最终形态。那么一定满足：各个双端队列中，元素在操作序列中的下标先单调下降再单调上升。下文称单谷性质。

问题转化为我们要将按数值排序后的下标序列划分成尽量少的单谷。

不妨按照数值从小到大的顺序考虑，逐步进行最优划分。

看上去跟”心路历程”的做法差不多，实际上这种思路更为成熟全面。按数值大小顺序考虑划分，与最终目标相契合，避免了按照操作序列考虑时，极大情况存在多种、不知道边界值划分至何处、可能导致区间增多等问题。例如按操作序列考虑时，若将6划分给第1个区间，[3,3,6,6]固然极大，但却非最优，因为剩余\([0]\)和[9]两个序列。

对于相同的数值，我们仅可以知道它们在操作序列中的下标集合；至于映射到的具体下标，根据单谷的需要可以随意调整。

我们贪心地令每一个单谷尽可能地长；且考虑到相同数值的特殊性，故做法如下：

用一个变量记录当前队列处于递增还是递减状态，并且记录末端元素。将每一段数值相同的区间拿出来考虑，尽可能地延续单谷，对于无法延续的元素另开队列，计数。

具体地：

假如原本递减，且存在大于末尾的数，转递增，记max；否则递减，取min。

假如原本递增，如果存在小于末尾的数，则新开1个，取最小值为min，处于递减，ans ++。

时间复杂度\(O(n)\)。[代码见此](https://github.com/littlewyy/OI/blob/master/bzoj 2457.cpp)

回顾与思考

关键是从最终状态出发有序思考，便于简化问题。

思考性质看透本质，有助于解题。