luogu 5426
题意
给定1个长度为\(2n\)的01数组。你可以交换相邻的元素。询问最少交换次数，使得前\(n\)个元素组成的子数组中的逆序对个数等于后\(n\)个元素组成的子数组中的逆序对个数。\(1 \leq n\leq 10^5\)
题解
普通的数组中，数的种类繁多，逆序对的求解及动态维护是很复杂的情况。
考虑利用01数组的性质，探寻逆序对个数的本质。
对于1个长度为n的子数组而言，它的逆序对个数的计算方法为，对于每个1，累加其后0的个数。而该0的个数又只与该1的下标、其后1的个数有关。
不妨采用数学方法进行化简。
设长度为\(n\)的数组中，所有1出现的位置为\(a_i\)，总共有\(x\)个1。
则逆序对总数为\(n-a_1-(x-1) + n-a_2-(x-2) + ...+n-an-(x-x) = xn - \frac{x(x-1)}{2}-\sum_{i=1}^xa_i\)
应用到两个子数组逆序对个数相等的情况，则\(xn - \frac{x(x-1)}{2}-\sum_{i=1}^xa_i = yn - \frac{y(y-1)}{2}-\sum_{i=1}^yb_i\)
进一步化简，可得\(\frac{\sum a_i-\sum b_i}{y-x}=k\)，其中常数\(k=\frac{x+y-1-2n}{2}\)
因此，只要我们确定了\(x\)与\(y\)的大小，即可确定目标的左右坐标和差；也可以确定左右2个子数组各自坐标和的变化范围（全部最靠左/全部最靠右）；因此容易判断目标是否可能实现。
不妨枚举\(x\)，则\(y\)易求。在求解该情况下达成目标的最小交换次数。
交换情况看似复杂，不妨分步思考。
首先，进行必要的交换，使得左数组中有\(x\)个1，右数组中有\(y\)个1。
设\(move = x - lefNum\)，即新的左数组中1的个数与原1的个数的差值，\(move > 0\)表示应将\(move\)个1从右数组中过渡到左数组；\(move <0\)则表示应将\(-move\)个1从左数组中转移到右数组。下文仅讨论\(move>0\)的情况，\(move < 0\)也是同理。
过渡的途径唯一：交换第\(n\)与第\(n+1\)位。因此，只有它们分别为0 1时，1次交换才有意义，能达成过渡的目的。
如果要继续过渡，则应将第\(n\)位的1向左交换。综合\(move\)个元素进行过渡的情况，发现本质是：左边数组末尾空出\(move\)个0，右边数组将\(move\)个1集中到最左端，再将它们顺次过渡。
如何以最少的步数空出\(move\)个0？经过数学推导，只需找到从右往左的第\(move\)个0的位置，将原本该位置以后的1从该位开始顺次排列。步数即为这些1的目标位置和与原位置和的差值。通过简单的预处理可以快速求解。
如何以最少的步数将\(move\)个1集中到最左端？同理，找到第\(move\)个1的位置，原位置和减去目标位置和即可。
再者，要以最少的位置实现目标的坐标和差。
不难想到，任何1个子数组的坐标和要改变1，只需将某个与0相邻的1交换1次。因此其坐标和变化范围内的任何1个值都可以达到，且每改变1只需交换1次。因此，计算将元素成功过渡后的坐标和差，将其与目标的坐标和差的差值累加入本次答案中。
时间复杂度：\(O(n)\)。代码见此
回顾与思考
问题较为奇怪烦琐时，不妨利用其性质简化问题，探寻其性质。
在面对复杂问题时要有分步思考的意识和耐心，才能抵达真理的彼岸。
