Codeforces 1066F

题意

平面上有 n 个点，且坐标均为非负整数。规定点 (i, j) 的等级为 max(i, j) 且保证不存在等级为 0 的点。现在从点 (0, 0) 出发，每次可以水平或竖直移动 1 个单位长度。在遍历完等级低于 i 的点之前，不能到达等级为 i 或更高的点。问遍历所有点的最短路长度。\(1 \leq n \leq 2 \times 10^5 , 0 \leq x,y \leq 10^9\)

题解

画图可知，等级为\(i\)的点实际为倒L字。

对于同1等级，最短路为沿着L字从1端走向另1端。

对于从等级\(i\)到等级\(i+1\)的跨越，先猜测最优解应从\(i\)的端点到\(i + 1\)的端点。

证明：若在\(i+1\)的起始点\(x\)并非L字的端点，定会导致完成\(i + 1\)途中路径重复，重复的路径恰好就是从\(i\)的端点到\(x\)节省下的跨级距离；即两者收益与花费抵消，为等价情况。

因此，策略应为：对于第\(i\)等级L字的两端点\(lef,rig\)，存在\(lef \rightarrow rig 和 rig \rightarrow lef\)两种方案；第\(i\)等级到第\(i + 1\)等级，存在\(lef \rightarrow lef' 和rig \rightarrow lef'\)与\(lef \rightarrow rig'和rig \rightarrow rig'\)四种方案。

经典的动态规划问题。

设\(f[i][0/1]\)表示处理完第\(i\)等级，且停留在\(lef/rig\)的最短路。枚举第\(i-1\)等级的结束点\(0/1\)即可转移。

时间复杂度：（离散化）\(O(NlogN)\)。[代码见此](https://github.com/littlewyy/OI/blob/master/cf 1066F.cpp)

回顾与思考

通过拆分，复杂问题简单化。