Codeforces 1108F

题意

给定1个无重边自环的无向联通图。你可以增加各边的边权，边权每增加1，算作1次操作。

询问最小的操作数，使得MST不变，且MST方案唯一。

题解

1种很直观的思路是，执行Kruskal的途中，若某边权为\(val\)的边\(e\)会导致环的出现，且该环中存在其它边权为\(val\)的边；为了方案的唯一性，应使\(e\)不能被选，将其边权加1即可。

很遗憾的是，惊喜之下我混淆了环与联通块的概念，将代码写成了这样。当时以为反正\(val\)为最大边权，则环与联通块可以等价；殊不知由于相同边权的存在，会对\(val\)不在环中而在联通块中的情况误判。一定要仔细考虑真正的阶段以及同阶段元素的相互作用！类似的经验也可以看Codeforces 459E。

最直接的做法是求树上\((u,v)\)间的边权最大值。先求出1种MST，结合树上倍增即可。

或者考虑在上述的错误思路上打补丁——排除环内最大值与联通块内最大值不等价的情况。

考虑该情况出现的条件，当且仅当\((u,v)\)在边权为\(val\)的边出现前就已经联通。

故只要在访问边权为\(val\)的边前，先统一标记两顶点已经联通的边，并在实际求解中跳过，即可使环与联通块等价。其余步骤不变，不再赘述。

[代码见此](https://github.com/littlewyy/OI/blob/master/cf 1108F)。时间复杂度\(O(NlogN+MlogM)\)。

当然，如果对Kruskal有更好的理解，就不必这样兜弯子。

Kruskal本质上的阶段是边权大小（而不是边），因而应对每堆边权为\(val\)的边整体考虑；

则显然加入这堆新边前顶点已联通的边不可能被选，直接跳过；剩余的边照常Kruskal，若某边不能加入MST中，则应将该边边权加1。累计即为所求。

回顾与思考

心静才能做好题。急躁只能坏事。

欲速则不达。请1点点磨平你性格中的缺陷，深度思考，谨慎做题。