[经典] 背包问题（三）

【9】背包问题的实际应用

1. 简单扩展，加上“最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间”类似的限制条件，同样可以先求出动态规划矩阵值，然后再在里面搜

2. 打印出最优方案，则需要对每一步动态规划过程，记录下它的选择g[i][v]

3. 输出字典序最小，N到1输入，需要注意的是，如果跳过i与选择i结果一样时，应该选择i

4. 装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数，f[i][v]=sum{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]}，初始条件f[0][0]=1

5. 最优方案的总数，声明一个记录数目的矩阵，在普通动规过程中，加一个判断，如果跳过，选择，或者两者都有，则进行相应的加法

6. 第K优解，转变一下：状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]，有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]][1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列，合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(VNK)。

 

注意：背包问题的动态规划解法是个伪多项式解法，O(VN)与V有关，V巨大时，是没法求解的。

子集和问题是一个NP-Complete问题，与前述的（加权的）01背包问题并不相同。给定一个整数的集合S和一个整数X，问是否存在S的一个子集满足其中所有元素的和为X。这个问题有一个时间复杂度为O(2^(N/2))的较高效的搜索算法，其中N是集合S的大小。第一步思想是二分。将集合S划分成两个子集S1和S2，它们的大小都是N/2。对于S1和S2，分别枚举出它们所有的2^(N/2)个子集和，保存到某种支持查找的数据结构中，例如hash set。然后就要将两部分结果合并，寻找是否有和为X的S的子集。事实上，对于S1的某个和为X1的子集，只需寻找S2是否有和为X-X1的子集。假设采用的hash set是理想的，每次查找和插入都仅花费O(1)的时间。两步的时间复杂度显然都是O(2^(N/2))。实践中，往往可以先将第一步得到的两组子集和分别排序，然后再用两个指针扫描的方法查找是否有满足要求的子集和。这样的实现，在可接受的时间内可以解决的最大规模约为N=42。

 

搜索还是DP? 

首先，可以从数据范围中得到命题人意图的线索。如果一个背包问题可以用DP解，V一定不能很大，否则O(VN)的算法无法承受，而一般的搜索解法都是仅与N有关，与V无关的。所以，V很大时（例如上百万），命题人的意图就应该是考察搜索。另一方面，N较大时（例如上百），命题人的意图就很有可能是考察动态规划了。另外，当想不出合适的动态规划算法时，就只能用搜索了。例如看到一个从未见过的背包中物品的限制条件，无法想出DP的方程，只好写搜索以谋求一定的分数了。