[Sequence Alignment Methods] Dynamic time warping (DTW)

本系列介绍几种序列对齐方法，包括Dynamic time warping (DTW)，Smith–Waterman algorithm，Cross-recurrence plot 

Dynamic time warping (DTW) is a well-known technique to find an optimal alignment between two given (time-dependent) sequences under certain restrictions. 　　　　　　

——Meinard Muller的《Information Retrieval for Music and Motion》

DTW路径的定义：用p = (p1, p2, ..., pL)，来表示，需要满足以下三个条件：

　　(i) 边界条件：p1 = (1,1) 和 pL = (N,M)

　　(ii) 单调条件：n1 ≤ n2 ≤ ... ≤ nL 以及 m1 ≤ m2 ≤ ... ≤ mL

　　(iii) 跨步大小：p(l+1) - pl属于{(1,0),(0,1),(1,1)} for l属于[1:L-1]

DTW的目标函数：将c(x,y)定义为对齐x, y两点的损失函数，总的损失函数则是从p1到pL每个点对的损失函数之和，DTW路径的目标就是使总的损失函数最小的路径。

DTW的动态规划：D(n,m) = min{D(n-1,m-1), D(n-1,m), D(n,m-1)} + c(xn,yn)，对于传统DTW，可以看到时间复杂度为O(MN)

DTW的变种：

　　跨步变种1：原跨步大小导致每一步的斜率范围为0到正无穷，可能会引起路径退化，故修改为{(2,1),(1,2),(1,1)}，这样斜率范围就变成0.5到2了。此时状态转移方程变为D(n,m) = min{D(n-1,m-1), D(n-2,m-1), D(n-1,m-2)} + c(xn,yn)

　　跨步变种2：变种1会引入新的问题，即会直接忽略两个序列的某些点，故可采用状态转移方程D(n,m) = min{D(n-1,m-1), D(n-2,m-1) + c(xn-1, ym), D(n-1,m-2) + c(xn,  ym-1)} + c(xn,yn)

　　损失函数权值变种：(1,0),(0,1),(1,1)三个跨步对应不同的权值，如在状态转移时，损失函数分别乘以权值(1,1,2)

　　Global Constraints：全局限制，目的是使得最优路径在某个限制的区间内。两个著名的全局限制区域为Sakoe-Chiba band和Itakura parallelogram。这种方法使得时间复杂度也大幅度减小。问题在于会丢掉稍微超出限制的区间的最优路径。

　　近似估计：只是为了降低计算复杂度。通过降采样，低通滤波，分段平滑函数等，降低O(MN)中M和N的大小

　　Multiscale DTW：综合Global Constraints和近似估计的方法，先通过低分辨率下的最优路径；在得到的靠近最优路径范围内增大分辨率，找到较高分别率在的最优路径；循环迭代操作

DTW的问题：在于它是将整个序列进行warping，并不符合很多实际需求

Subsequence DTW：(a*, b*) = argmin(DTW(X, Y(a: b))), (a, b): 1 ≤ a ≤ b ≤ M.找到损失值最小的匹配对

结论：在实际大规模检索中，大多数方法采取的策略是首先提取粗粒度的数据表征时间序列，检索出候选文档，然后进行细粒度的rank