洛谷 P1006 传纸条 - DP

洛谷 P1006 传纸条

题目链接：洛谷 P1006 传纸条

算法标签: 动态规划（DP）

题目

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个\(m\)行\(n\)列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标\((1,1)\)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标\((m,n)\)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 \(0\) 表示），可以用一个 \(0-100\) 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这\(2\)条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的 \(2\) 条路径。

输入格式

输入文件，第一行有 \(2\) 个用空格隔开的整数 \(m\) 和 \(n\) ，表示班里有 \(m\) 行 \(n\) 列。

接下来的 \(m\) 行是一个 \(m \times n\) 的矩阵，矩阵中第 \(i\) 行 \(j\) 列的整数表示坐在第 \(i\) 行 \(j\) 列的学生的好心程度。每行的 \(n\) 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回 \(2\) 条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入 #1

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出 #1

34

题解：

与洛谷 P1004 方格取数 题解 很相似的一道题，但略有不同。

在这道题当中，两个同学分别在\((1,1)\)与\((n,m)\)的位置上互相找两条最大路径，其实也就是相当于从\((1,1)\)点出发到\((n,m)\)点的两条最大路径。不过，需要注意的是，在这道题当中除了起始点与重点以外，每一个点只能经过一次（“班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次”），这也是这道题与 方格取数 的差别所在。

如图中两条不同颜色的路线，橙色为\((i,j)\) 所表示，蓝色为 \((k,l)\) 所表示。

观察图片，不难发现除了起点和终点之外，一定是一条线在上，一条线在下边，所以针对于 \(k\) 只需要遍历 \((i + 1,k)\) 的区间，针对于 \(l\) 只需要遍历 \((1,j-1)\)的区间即可求解。但是如果按照这种方式求出的两条路径，是不包括起点和终点的（刚好起点和重点都没有值），所以答案不是 \(f[n][m][n][m]\) ，而是按照重点上边的点和重点左边的点记录 \(f[n-1][m][n][m-1]\) 。

AC代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 51;
int n, m, map[N][N], f[N][N][N][N];
int getmax(int a, int b, int c, int d)
{
    int res = max(a, max(b, max(c, d)));
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &map[i][j]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            for (int k = i + 1; k <= n; k ++ )
                for (int l = 1; l <= j - 1; l ++ )
                    f[i][j][k][l] = getmax(
                        f[i - 1][j][k - 1][l],
                        f[i - 1][j][k][l - 1],
                        f[i][j - 1][k - 1][l],
                        f[i][j - 1][k][l - 1])
                    + map[i][j] + map[k][l];
    int ans = f[n - 1][m][n][m - 1];
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}