洛谷 P1004 方格取数 - DP

洛谷 P1004 方格取数

题目链接：洛谷 P1004 方格取数

算法标签: 动态规划（DP）

题目

题目描述

设有\(N \times N\)的方格图\((N \le 9)\)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）:

A
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                         B

某人从图的左上角的\(A\)点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的\(B\)点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从\(A\)点到\(B\)点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数\(N\)（表示\(N \times N\)的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

输入输出样例

输入 #1

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0

输出 #1

67

题解：

四维的动态规划，由于题目中数据 \(N ≤ 9\) ，所以不用担心会超时或者超空间的问题，具体的转移方程如下：

f[i][j][k][l] = max{
    // i,k描述两条路径横坐标情况
    // j,l描述两条路径纵坐标情况
    f[i - 1][j][k - 1][l], 
    f[i][j - 1][k][l - 1], 
    f[i - 1][j][k][l - 1], 
    f[i][j - 1][k - 1][l]) 
}+ map[i][j] + map[k][l];

而需要注意的是，由于每个点经过后该点上的数字会清零，所以当两条路径经过同一个点的时候要在总和中减去一个\(map[i][j]( == map[k][l])\) 来保证这个点上的数字只能被计算一次。

同样在读入的时候要注意while() 的退出条件。

AC代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 10;
int n, map[N][N], f[N][N][N][N];
int getmax(int a, int b, int c, int d)
{
    int ans = max(a, max(b, max(c, d)));
    return  ans;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    int x, y, z;
    while(1)
    {
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        if (x == 0 && y == 0 && z == 0)
            break;
        map[x][y] = z;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            for (int k = 1; k <= n; k ++ )
                for (int l = 1; l <= n; l ++ )
                {
                    f[i][j][k][l] = 
                    getmax(f[i - 1][j][k - 1][l], 
                        f[i][j - 1][k][l - 1], 
                        f[i - 1][j][k][l - 1], 
                        f[i][j - 1][k - 1][l]) 
                    + map[i][j] + map[k][l];
                    if (i == k && j == l)
                        f[i][j][k][l] -= map[i][j];
                }
    printf("%d\n", f[n][n][n][n]);
    return 0;
}