洛谷 P1967 货车运输 - 生成树、LCA
洛谷 P1967 货车运输
题目链接：洛谷 P1967 货车运输
算法标签: 图论、生成树、深度优先搜索（DFS）
题目
题目描述
A国有n座城市，编号从 1到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物， 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。
输入格式
第一行有两个用一个空格隔开的整数n,m，表示 A 国有n 座城市和 m 条道路。
接下来 m行每行3个整数 x, y, z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x号城市到y号城市有一条限重为 z 的道路。注意： ** x 不等于 y，两座城市之间可能有多条道路 ** 。
接下来一行有一个整数 q，表示有 q 辆货车需要运货。
接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意： ** x 不等于 y ** 。
输出格式
共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1。
输入输出样例
输入 #1
4 3
1 2 4
2 3 3
3 1 1
3
1 3
1 4
1 3
输出 #1
3
-1
3
题解：
生成树（最大）+ DFS + 倍增LCA
整体思路就是在最大生成树上找一条最小边，实现的过程就是在最大生成树上跑倍增LCA。
那么既然这么说，我们就要单独把最大生成树建好（除去多余边），所以我们就需要在Kruskal的时候直接建树，具体代码实现：
void kruskal()
{
sort(edge + 1, edge + 1 + m, cmp);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
fa[i] = i;
}
for (int i = 1; i <= m; i ++ )
{
int fx = find(edge[i].x);
int fy = find(edge[i].y);
if (fx != fy)
{
fa[fx] = fy;
add(edge[i].x, edge[i].y, edge[i].val);
add(edge[i].y, edge[i].x, edge[i].val);
}
}
}
在建好最大生成树之后，我们要DFS做几个处理：
1.处理出每个点的深度（LCA）
2.处理好每个点的上1个点（LCA）
3.处理好每个点到它的上一个点的距离（LCA边权）
代码实现如下：
void dfs(int x)
{
for (int i = head[x]; i; i = nex[i])
{
int y = to[i];
if (deep[y])
continue ;
deep[y] = deep[x] + 1;
f[y][0] = x;
w[y][0] = val[i];
dfs(y);
}
}
最终求答案就是一个倍增LCA的板子，要注意在每一步向上倍增的时候都要记录答案（最小边边权）
ans = min(ans, min(w[x][i], w[y][i]));
最终的ans就是对于这一对询问的答案。
LCA部分代码如下：
int lca(int x, int y)
{
if (find(x) != find(y))
return -1;
int ans = inf;
if (deep[x] > deep[y])
swap(x, y);
for (int i = 20; i >= 0; i -- )
{
if (deep[f[y][i]] >= deep[x])
{
ans = min(ans, w[y][i]);
y = f[y][i];
}
}
if (x == y) return ans;
for (int i = 20; i >= 0; i -- )
{
if (f[x][i] != f[y][i])
{
ans = min(ans, min(w[x][i], w[y][i]));
y = f[y][i];
x = f[x][i];
}
}
ans = min(ans, min(w[x][0], w[y][0]));
return ans;
}
AC代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 50050;
int n, m, q;
int fa[MAXN], deep[MAXN], f[MAXN][21], w[MAXN][21];
int tot, to[MAXM], val[MAXM], nex[MAXM], head[MAXN];
struct Edge{
int x, y, val;
} edge[MAXM];
bool cmp(Edge a, Edge b)
{
return a.val > b.val;
}
int find(int x)
{
if (fa[x] == x)
return x;
return fa[x] = find(fa[x]);
}
void add(int x, int y, int z)
{
to[ ++ tot] = y;
val[tot] = z;
nex[tot] = head[x];
head[x] = tot;
}
void kruskal()
{
sort(edge + 1, edge + 1 + m, cmp);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
fa[i] = i;
}
for (int i = 1; i <= m; i ++ )
{
int fx = find(edge[i].x);
int fy = find(edge[i].y);
if (fx != fy)
{
fa[fx] = fy;
add(edge[i].x, edge[i].y, edge[i].val);
add(edge[i].y, edge[i].x, edge[i].val);
}
}
}
void dfs(int x)
{
for (int i = head[x]; i; i = nex[i])
{
int y = to[i];
if (deep[y])
continue ;
deep[y] = deep[x] + 1;
f[y][0] = x;
w[y][0] = val[i];
dfs(y);
}
}
int lca(int x, int y)
{
if (find(x) != find(y))
return -1;
int ans = inf;
if (deep[x] > deep[y])
swap(x, y);
for (int i = 20; i >= 0; i -- )
{
if (deep[f[y][i]] >= deep[x])
{
ans = min(ans, w[y][i]);
y = f[y][i];
}
}
if (x == y) return ans;
for (int i = 20; i >= 0; i -- )
{
if (f[x][i] != f[y][i])
{
ans = min(ans, min(w[x][i], w[y][i]));
y = f[y][i];
x = f[x][i];
}
}
ans = min(ans, min(w[x][0], w[y][0]));
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i ++ )
{
scanf("%d%d%d", &edge[i].x, &edge[i].y, &edge[i].val);
}
kruskal();
scanf("%d", &q);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
if (!deep[i])
{
deep[i] = 1;
dfs(i);
f[i][0] = i;
w[i][0] = inf;
}
}
for (int i = 1; i <= 20; i ++ )
{
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
{
f[j][i] = f[f[j][i - 1]][i - 1];
w[j][i] = min(w[j][i - 1],w[f[j][i - 1]][i - 1]);
}
}
for (int i = 1; i <= q; i ++ )
{
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
printf("%d\n", lca(x, y));
}
return 0;
}
