欧拉函数一些性质

欧拉函数：

性质：

• \(\Phi(n)=n*\Pi_{p|n}(1-\frac{1}{p})\).
• \([1,n]\)中，与n互质的数的和为 \(\frac {n*\Phi(n)}{2}\)
• 若\((a,b)=1\),则 \(\Phi(a*b)=\Phi(a)*\Phi(b)\).
• 若 \(p|n\) 且 \({p^2}|n\),则 \(\Phi(n)=\Phi(n/p)*p\).
• 若 \(p|n\) 且 \({p^2}!|n\),则 \((p,\frac{n}{p})=1\)，即 \(\Phi(n)=\Phi(n/p)*(p-1)\).
• \(\Sigma_{d|n}{\Phi(d)}=n\)
• 计算单个欧拉函数：根据唯一分解定律，对n分解出所有的质因数，复杂度\(O(\sqrt{n})\).

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• 证明1：容斥原理，\([1,n]\)中质数\(p\)的倍数的个数为：\(\lfloor \frac {n}{p} \rfloor\)，\([1,n]\)中质数\(q\)的倍数的个数为：\(\lfloor \frac {n}{q} \rfloor\).

  ​ \([1,n]\)中不与\(n\)有共同质因子p或q为：\(n-\frac{n}{p}-\frac{n}{q}+\frac{n}{pq}=n(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})\)

  ​ 归纳可得：\(\Phi(n)=n*\Pi_{p|n}(1-\frac{1}{p})\).

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• 证明2：\(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)\),\(x,n-x\)都和n互质，平均数为\(\frac{n}{2}\)

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• 证明3：根据唯一分解定律得出.

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• 证明6：令\(f(n)=\Sigma_{d|n}\Phi(d)\)

​ 有 \(f(n*m)=\Sigma_{d|n*m}\Phi(d)=(\Sigma_{d|n}\Phi(d))*(\Sigma_{d|m}\Phi(d))=f(n)*f(m)\)

​ 故 \(f(n)\) 是积性函数.

​ 根据唯一分解定律，\(n=\Pi{c_i^{p_i}}\)

​ \(f(p^m)=\Sigma_{d|{p^m}}\Phi(d)\\=\Phi(1)+\Phi(p)+\Phi(p^2)+....\Phi(p^m)\\=1+(p-1)+p(p-1)+...p^m(p-1)\\=p^m\)

​ \(f(n)=\Sigma_{d|n}\Phi(d)\\=\Pi f(p_i^{c_i})\\=\Pi p_i^{c_i}\\=n\)

​ 证毕.