图论三月小结
三月算法学习总结
2020-3-23
一：图论基本算法：
小提纲：
几个概念：
度数：无向图中一个点连出去的边数
联通：两个点通过路径相连
拓扑图：没有环的图、
三无图：无向，无重边，无自环
割点：删除这个点之后图不连通
桥边: 删除这个边之后图不连通
强联通：有向图中，两个点可以互相到达
强联通分量（ SCC)：有向图中，分量中所有点可以互相到达
点双联通分量：没有割点；
边双联通分量：没有割边；
几个结论：
1.一个图里的树边必然是n-1
2.二分图里：
*1.1 最短路总结（较重要）：**
其实bfs解决最短路是没问题的，感觉bfs启发了最短路算法。
| 算法 | 数据规模 | 复杂度 | 数据结构 | 边权 | 用法 |
|---|---|---|---|---|---|
| floyd | 200 | O(n^3) | 邻接矩阵 | 有负 | 解决一些其他问题挺方便 |
| spfa | >=1e7 | O(n*m) | 邻接表，前向星 | 有负 | 随机数据线性时间，网格图可以拉满复杂度，可判负边，比较好写 |
| dijkstra | >=1e7 | O(m*log(n)) | 邻接表，前向星 | 无负 | 较快通用算法 |
floyd求传递闭包：
听着挺牛逼的概念，其实挺简单的东西，a和d没有直连边，但a通过b，c又可以走到d，所以a可以走到d。
例：zoj-4124;求闭包传递。
1.2 差分约束：
解决一系列线性规划问题：
把x1，x2，等等,看做最短路节点，
跑一遍spfa，对于每一条边起点u，终点v，都有：
那么在求解最短路的时候，实际上是得到一组最大解（因为 若干个 = 的成立）。
求解最长路，得到的是一组最小解。
板题：poj3159
跑一遍spfa，前向星+模拟队列,不然TLE
1.3 拓扑图
做法：
按顺序跑一遍，可以bfs，dfs，个人喜欢bfs。
做法：找出入度为0的点，开始广搜。
用法：
-
判断有没有环：拓扑时记录出队人数，小于n必有环。
-
当拓扑队列里人数超过2时，说明有排名并列。
例题：
T123571 Misaka Network
按拓扑序选择，
记得当时犯了一个逻辑错误：一个点不是控制点，就是如果有控制点连到它就行了。
但，一个点是控制点，不是说连到它的点不是控制点就行了，只要有一个连到它的控制点，那它就不是控制点。
1.4 欧拉路（一笔画）
做法：
无向图：
第一步：判断是否联通，并查集解决；
第二步：
有向图：
第一步：判断是否联通，并查集解决；
第二步：记录出入度数
例题：
B - Grid with Arrows
网格图欧拉路，开不了数组，蛋疼的动态过不了，哈希处理
1.5 无向图求割点及割边
tarjan算法：
一张图搞成一颗dfs树;
low数组表示可到达祖先，dep表示递归深度；
如果 low[v]>=num[u]，说明是割点；
如果 low[v]>num[u] 说明是割边；
如果 num[v]<num[u]&&v!=fa，说明是回退边，
求构成边连通分量的最小边：
运用缩点技术：
在dfs的时候，low值相同的点必然在一个边双联通分量里，把每一个双连通分量压缩成为一个点求解。
1.6 有向图求强联通分量
还是tarjan算法
有以下结论：
1.一个强联通分量的所有的可以互相访问，low值相同。
2.用栈保存节点（注意是边，而不是点），dfs撞到 low=dep的点 ，把栈里元素全抖出来，构成一个SCC。
1.7 最小生成树
贪心取边+并查集联通（较简单）复杂度(O(E log(E)+E))
1.8 二分图匹配（较重要）
如图：一个图分成了两个部分，这两个独立集内部都没有边，这就是一个二分图。
几个结论：
如何判断一个图可以搞成二分图？
采用染色法，每两个相邻的点必然不在一个独立集里，把他们染成不同的颜色。
二分图等价于没有奇环的图
如果有奇环，染色染出来必然矛盾。
二分图匹配（匈牙利算法）
较简单，
点u，v可以匹配，当且仅当 u，v都还未匹配，或者u已经匹配的点可以换人匹配，最终使得u，v匹配。
写法：
bool findpath(int u){
for(int i=0;i<e[u].size();i++){
int v=e[u][i];
if(!vis[v]){
vis[v]=1;
if(!match[v]||findpath(match[v])){
match[v]=u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
