Solution Set 1

$\text{「ABC222H」Beautiful Binary Tree}$

$\text{Link}$

$\text{Describe}$

对于一个正整数 $n$，我们称满足以下条件的有根二叉树是一棵美丽的 $n$ 阶二叉树。

• 每个节点有一个数字 $0$ 或 $1$，节点 $i$ 的数字记为 $a_i$。
• 每个叶子节点的数字定是 $1$。
• 可以通过进行如下的操作至多 $n - 1$ 次，使得最终根节点上的数字为 $n$，其余节点的数字是 $0$。
  • 选择两个节点 $u, v$，其中 $u$ 需要是 $v$ 的父节点或父节点的父节点。作赋值 $a_u\leftarrow a_u + a_v, a_v\leftarrow 0$。

给定 $n$，请计算美丽的 $n$ 阶二叉树的数量。答案对 $998244353$ 取模。

$\text{Solution}$

容易发现美丽的 $n$ 阶二叉树的等价限制为

• 每个叶子节点的数字是 $1$；

• 根的数字为 $1$；

• $\forall (u,v)\in E,a_u=1\vee a_v=1$；

考虑定义根的数字为 $0/1$ 的 $\text{GF}$ 记为 $G/F$，容易构造出 $F,G$ 的关系

$$\begin{aligned} &F(x)=x(F(x)+G(x))^2+1\\ &G(x)=F^2(x)-1 \end{aligned}$$

转化为

$$F(x)=x(F^2(x)+F(x)-1)^2+1$$

考虑用拉格朗日反演提取系数，因为右边的常数项无法与 $x^k$ 消掉，考虑换元 $H(x)=F(x)-1$，有

$$\dfrac{H(x)}{(H^2(x)+3H(x)+1)^2}=x$$

其复合逆为 $R(x)=\dfrac{x}{x^2+3x+1}$.

运用拉格朗日反演容易有

$$[x^n]H(x)=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}](x^2+3x+1)^n$$

容易 $\mathcal O(n)$ 直接计算。

$\text{「CF566C」Logistical Questions}$

$\text{Link}$

$\text{Describe}$

一棵 $n$ 个节点的树，点有点权，边有边权。

两点间的距离定义为两点间边权和带权的 $\frac 32$ 次方。

求这棵树的带权重心。

$\text{Solution}$

可以发现对于任何一个点计算带权距离和是 $\mathcal O(n)$ 的，而且这个形式也不存在换根的可能性。考虑带权距离和的性质，下面记录 $d(u,v)$ 为 $u$ 到 $v$ 路径的边权和。

$$F(u)=\sum_{v=1}^nw_vd^{\frac 32}(u,v)$$

考虑放在一条链 $(u,v)$ 上，考虑在靠近 $u$ 的 $\dfrac 1\lambda$ 分点

我们可以将 $F(k)$ 看成随 $\lambda$ 连续变化的函数 $g(\lambda)$，由于 $x^{\frac 32}$ 为下凸函数，所以 $g(\lambda)$ 也为下凸函数，下凸函数具有唯一最值点，如果最值点在点 $u$ 上，$u$ 就是带权重心，而最值点在边 $(u,v)$，$u/v$ 是带权重心，只需要 $\mathcal O(n)$ 比较即可。

$\text{「ABC318Ex」Count Strong Test Cases}$