「CF715E」Complete the Permutations

$\text{「CF715E」Complete the Permutations}$

$\text{Link}$

$\text{Describe}$

给定长为 $n$ 的且部分确定的置换 $p,q$。定义 $p,q$ 距离为通过交换 $p$ 任意两项变为 $q$ 的最小步数，对于 $0\le k\le n-1$ 求通过补全 $p,q$ 使得 $p,q$ 距离为 $k$ 的方案数对 $998244353$ 取模的结果。

$\text{Solution}$

给定置换 $p,q$，我们记每个 $p_i$ 连向 $q_i$ 所得图的置换环数为 $\text{cyc}$，那么 $p,q$ 的距离为 $n-\text{cyc}$，转换为求有 $\text{cyc}$ 的置换数量.

在一个不确定的置换中，我们会产生 $4$ 种边。

$0\rightarrow 0$，我们记为 $E$.

$p\rightarrow 0\;(p\not =0)$，我们记为 $P$.

$0\rightarrow q\;(q\not =0)$，我们记为 $Q$.

$p\rightarrow q\;(p,q\not =0)$，我们记为 $F$.

我们可以发现 $F$ 边可以将 $p,q$ 视作一个点（对于置换图可以缩点）。

一个重要的观察，通过手玩几组样例后发现 $P,E$ 或 $Q,E$ 可以合并，且与 $E$ 合并后 $E$ 边数量不变

• 考虑 $0\rightarrow q$ 和 $0\rightarrow q$ 可以合并为 $0\rightarrow q$；

• 考虑 $0\rightarrow q$ 和 $0\rightarrow 0$ 可以合并为 $0\rightarrow 0$；

• 考虑 $0\rightarrow q$ 和 $p\rightarrow 0$ 不可以合并；

所以我们对于每一类边考虑生成函数（我们用 $P,Q,E$ 分别表示对应边的数量）

$$[z^k]P(z)=\sum_{t=k}^P\binom{P}{t}\begin{bmatrix}t\\k\end{bmatrix}(P-t+E-1)^{\underline{P-t}}$$

$$[z^k]Q(z)=\sum_{t=k}^Q\binom{Q}{t}\begin{bmatrix}t\\k\end{bmatrix}(Q-t+E-1)^{\underline{Q-t}}$$

考虑 $P$ 的组合意义 $\binom{P}{t}$ 为将所有 $P$ 边选出 $t$ 条用来拼成环，而 $\begin{bmatrix}t\\k\end{bmatrix}$ 为 $t$ 条边拼成
$k$ 个环的方案数，我们将剩余的边与 $P$ 或 $E$ 合并，由于合并后 $P$ 边会变少，所以是下降幂，$Q$ 的组合意义类似。

$$[z^k]E(z)=E!\begin{bmatrix}E\\k\end{bmatrix}$$

考虑将 $E$ 条边分成 $k$ 个环为 $\begin{bmatrix}E\\k\end{bmatrix}$，注意我们可以在原本排列上以任意顺序确定 $E$ 条边所以要乘上 $E!$，最后答案为 $[z^k]P(z)Q(z)E(z)$，这里 $n\le 250$，暴力 $O(n^2)$ 卷积即可。

$\text{Details}$

• 考虑 $0\rightarrow q$ 和 $p\rightarrow 0$ 在 $p=q$ 可以合并为 $0\rightarrow 0$ 边；

• 已确定的置换可能已经存在置换环，需要排除其影响

$\text{Ex}$

此题存在 $O(n\log n)$ 做法，我们发现卷积我们可以 $\text{NTT}$ 并不是瓶颈，而瓶颈在于预处理下列式子的值

$$[z^k]P(z)=\sum_{t=k}^P\binom{P}{t}\begin{bmatrix}t\\k\end{bmatrix}(P-t+E-1)^{\underline{P-t}}\\ [z^k]Q(z)=\sum_{t=k}^Q\binom{Q}{t}\begin{bmatrix}t\\k\end{bmatrix}(Q-t+E-1)^{\underline{Q-t}}\\ $$

待更新