「CF848D」Shake It!

$\text{「CF848D」Shake It!}$

$\text{Solution}$

我们可以发现题目中的图可以拆分为若干个递归的子结构，可以对这些子结构考虑 $\text{DP}$，设 $f(i,j)$ 表示考虑对一个子结构 $(s,t)$ 加入 $i$ 个点后形成的图最小割为 $j$ 的本质不同方案数。推一下发现 $f(i,j)$ 难以转移，发现子问题实质上在 $(s,t)$ 拓展若干次点 $u$ 形成的结构 $(s,u)$ 和 $(u,t)$，所以考虑设一个辅助状态 $g(i,j)$ 表示对 $(s,t)$ 加入 $i$ 个点后且保证只对 $(s,t)$ 拓展一次形成的图的最小割为 $j$ 的本质不同方案数，先考虑转移 $g(i,j)$，容易发现

$$g(i,j)=\sum_{k}\sum_{min(x,y)=j}f(k,x)f(i-k-1,y)$$

可以通过计算 $f,g$ 的后缀和 $F(i,j)=\sum_{k\ge j}f(i,k),G(i,j)=\sum_{k\ge j}g(i,k)$ 来降低复杂度

$$G(i,j)=\sum_{k}F(k,j)F(i-k-1,j)$$

考虑转移 $f(i,j)$，发现 $f(i,j)$ 便是在 $(s,t)$ 作用若干次 $g(i_k,j_k)$ 的结果，满足 $\sum i_k=i$ 且 $\sum j_k=j-1$，考虑 $k$ 个 $g(i,j)$ 的内部次序，由隔板法可知为 $\binom{g(i,j)+k-1}{k}$，用背包的方法合并即可，复杂度为 $O(n^4\log n)$.

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define PI pair<int,int>
#define PII pair< pair<int,int> , int >
#define fi first
#define se second
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define ls(p) (p<<1)
#define rs(p) (p<<1|1)
#define MAXN (105)
#define MAXM (105)
#define MOD (1000000007)
using namespace std;
template<typename type>
void read(type &x)
{
	x=0;char ch=0;bool ff=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){ff|=!(ch^'-');ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	x=ff?-x:x;
}
ll qpow(ll x,ll y)
{
	ll res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1ll) res=res*x%MOD;
		x=x*x%MOD,y>>=1ll;
	}
	return res;
}
int n,m;
ll fac[MAXN],ifac[MAXN],f[MAXN][MAXM],F[MAXN][MAXM],G[MAXN][MAXM];
void init()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=100;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*(ll)i%MOD;
	ifac[100]=qpow(fac[100],MOD-2);
	for(int i=99;i>=0;i--)
		ifac[i]=ifac[i+1]*(ll)(i+1ll)%MOD;
}
int main()
{
	init();
	read(n),read(m);
	f[0][0]=1,F[0][1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=i+1;j++)
			for(int k=0;k<i;k++)
				G[i][j]=(G[i][j]+F[k][j]*F[i-k-1][j]%MOD)%MOD;
		for(int j=1;j<=i+1;j++)
		{
			ll gnow=((G[i][j]-G[i][j+1])%MOD+MOD)%MOD;
			for(int a=n;a>=0;a--)
			{
				for(int b=n+1;b>=0;b--)
				{
					ll sum=0,dmul=1;
					for(int k=0,sa=0,sb=0;sa<=a&&sb<=b;k++,sa+=i,sb+=j)
					{
						sum=(sum+dmul*ifac[k]%MOD*f[a-sa][b-sb]%MOD)%MOD;
						dmul=dmul*(ll)(gnow+k)%MOD;
					}
					f[a][b]=sum;
				}
			}
		}
		for(int j=i+1;j;j--)
			F[i][j]=(F[i][j+1]+f[i][j-1])%MOD;
	}
	printf("%lld",((F[n][m]-F[n][m+1])%MOD+MOD)%MOD);
}