张宇1000题知识点整理

张宇1000题知识点

当 $x \to 0$ 时，若 $α (x) x \to 0$ ，则有 $e^{α (x) (1 + x)} - 1 \sim α (x) \ln (1 + x) \sim α (x) x$ ，这可以视作 $(1 + x)^{α} - 1 \sim α x$ 的推广。
当 $x \to 0$ 时， $1 - \cos^{α} (x) \sim \frac{α}{2} x^{2}$ 。
当 $x \to 0$ 时， $g (x)$ 是 $x$ 的 $n$ 阶无穷小， $f (x)$ 是 $x$ 的 $m$ 阶无穷小，则 $\int_{0}^{g (x)} f (t) d t$ 是 $x$ 的 $(m + 1) n$ 阶无穷小。
积分的等价无穷小：当 $x \to 0$ 时，若 $f (x) \sim g (x)$ 且 $ψ (x) Ψ (x)$ ，则有 $\int_{0}^{ψ} f (t) d t \sim \int_{0}^{Ψ} g (t) d t$ ，证明过程参见https://blog.csdn.net/weixin_45775438/article/details/124805453。
若 $lim_{x \to \infty} f (x) - (a x + b) = 0$ ，则 $y = a x + b$ 是 $f (x)$ 的斜渐近线，进而可以求得 $a, b$ 的值。
需要分别考察左右极限的情形：1) 分段函数的分段点处（绝对值、取整函数） 2) $e^{\infty}$ 型 3) $\arctan \infty$ 型。
当出现 $\ln f (x) - g (x)$ 时，可以考虑写成 $\ln f (x) / e^{g (x)}$ 的形式进而化简。
$lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1$ 。
$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}, a_{2}^{n}, . . ., a_{m}^{n}} = max {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{m}}$ ，使用夹逼准则可证明。

对于数列的递推公式 $a_{n + 2} + p a_{n + 1} + q a_{n} = 0$ ，若求解特征方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 有两个不同的实根 $r 1, r 2$ ，则 $a_{n} = C_{1} r_{1}^{n} + C_{2} r_{2}^{n}$ 。
关于 $\ln$ 的两个重要不等式：1) $\frac{x}{1 + x} < \ln x < x$ 2) $x - \frac{x^{2}}{2} < \ln x < x$ 。

若 $x_{0}$ 处左导数 $f_{+}^{'} (x_{0})$ 和右导数 $f_{-}^{'} (x_{0})$ 都存在（不要求相等），则 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。

对于比较复杂的参数方程，需要求其二阶导在某点的函数值，可用 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{y_{t}^{''} \cdot x_{t}^{'} - y_{t}^{'} \cdot x_{t}^{''}}{(x_{t}^{''})^{3}}$

对于高阶导数 $f^{n} (ξ)$ 的证明题，考虑泰勒公式。函数的展开点 $x_{0}$ 选取已知导数值的点或者要证明的点，被展开点 $x$ 选取已知函数值的点或者区间端点、中点。
构造函数技巧： $f^{'} (x) + g (x) f (x) + h (x) \Rightarrow F (x) = f (x) \exp [\int g (x) d x] + \int h (x) \exp [\int g (x)] d x$

对于变上限积分 $F (x) = \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t$ ，有：1) $F (x)$ 是过定点 $(x_{0}, 0)$ 的连续函数；2) 若 $x = c$ 处 $f (x)$ 连续，则 $F^{'} (c) = f (c)$ ，若 $x = c$ 为可去间断点，则 $F^{'} (c) = lim_{x \to c} f (x)$ ，若 $x = c$ 为跳跃间断点，则不可导。
如果 $f (x)$ $(- \infty, \infty)$ 上连续且以 $T$ 为周期，则 $\int_{a}^{x} f (t) d t - \frac{\int_{0}^{T} f (t) d t}{T}$ 也以 $T$ 为周期，即：周期函数的变上限积分减去一个周期的均值，仍然是周期函数。

$\int_{0}^{π / 2} f (\sin (x), \cos (x)) = \int_{0}^{π / 2} f (\cos (x), \sin (x))$
$\int_{0}^{π} x f (\sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (\sin x) d x$
上述结论可使用区间再现公式证明。