AcWing 1017. 怪盗基德的滑翔翼
\(AcWing\) \(1017\). 怪盗基德的滑翔翼
零、前导知识
\(AcWing\) \(896\). 最长上升子序列 II
一、题目描述
怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。
而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。
有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。
不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。
假设城市中一共有\(N\)幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。
初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。
他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。
因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。
他希望尽可能多经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。
请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？
输入格式
输入数据第一行是一个整数\(K\)，代表有\(K\)组测试数据。
每组测试数据包含两行：第一行是一个整数\(N\)，代表有\(N\)幢建筑。第二行包含\(N\)个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度\(h\)，按照建筑的排列顺序给出。
输出格式
对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。
数据范围
\(1≤K≤100,1≤N≤100,0<h<10000\)
输入样例：
3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10
输出样例：
6
6
9
二、题目分析
题目要求：最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？这些建筑的高度必须是单调递减的。
从中间某个位置向两边递减高度，也就是中间最高，两边低，可以转化为从两边向中间走，单调递增，即\(LIS\)最长上升子序列问题。
并且题目中明确：假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。如此，就是一个严格上升子序列问题，可以在判断是不用写等号了。
三、题目总结
-
从左到右，求一遍最长上升子序列\(LIS\)问题。
-
从右到左，求一遍最长上升子序列\(LIS\)问题。
-
两次结果取最大值即可。
四、朴素\(O(N^2)\)版本
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n; // 楼房的个数
int w[N]; // 楼房的高度数组
int f[N]; // LIS结果数组，DP结果
int main() {
int T;
cin >> T;
while (T--) {
// 保持好习惯，多组测试数据，记得每次清空结果数组
memset(f, 0, sizeof f);
int res = 0;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
// 从左到右,求一遍最长上升子序列[朴素O(N^2)版本]
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++)
if (w[i] > w[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
res = max(res, f[i]);
}
// 反向求解 LIS问题
for (int i = n; i >= 1; i--) {
f[i] = 1;
for (int j = n; j > i; j--)
if (w[i] > w[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
res = max(res, f[i]);
}
printf("%d\n", res);
}
return 0;
}
四、贪心+二分优化版本(\(O(NlogN)\))版本
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n; // 楼房的个数
int a[N]; // 楼房的高度数组
// 数组模拟栈
int f[N], fl;
int g[N], gl;
int res;
int main() {
int T;
cin >> T;
while (T--) {
// 保持好习惯，多组测试数据，记得每次清空结果数组
memset(f, 0, sizeof f);
memset(g, 0, sizeof g);
fl = 0, gl = 0;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
// 正着求
f[++fl] = a[1];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (a[i] > f[fl])
f[++fl] = a[i];
else
*lower_bound(f + 1, f + 1 + fl, a[i]) = a[i];
}
// 前半程的结果
res = fl;
// 反着求
g[++gl] = a[n];
for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
if (a[i] > g[gl])
g[++gl] = a[i];
else
*lower_bound(g + 1, g + 1 + gl, a[i]) = a[i];
}
// pk的最大结果
res = max(res, gl);
// 输出
printf("%d\n", res);
}
return 0;
}
五、相关资源
六、经验总结
\(LIS\)序列不唯一,\(LIS\)长度唯一
举的栗子来讲，给出序列 \(( 1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)\)，易得最长上升子序列长度为\(4\),这是确定的，但序列可以为 \((1, 3, 5, 8)\), 也可以为 \((1, 3, 5, 9)\)。
七、疑问
都排在一条直线了，遇到某个比自己高的，滑翔翼也飞不过去啊，这提供出来的\(LIS\)长度似乎无法成为侠盗基德的理论依据啊，他要是按这个数来跑，估计会卡在某个建筑上方，剩下的就哭吧，这道题的描述有问题，应该修改为 可以在遇到比自己高的建筑时，绕到更矮的建筑上 才合理。
