AcWing 463. 求和

$AcWing$ $463$. 求和

一、题目描述

一条狭长的纸带被均匀划分出了 $n$ 个格子，格子编号从 $1$ 到 $n$。

每个格子上都染了一种颜色 $color_i$（用 $[1，m]$ 当中的一个整数表示），并且写了一个数字 $number_i$。

定义一种特殊的三元组：$(x,y,z)$，其中 $x，y，z$
都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：

• $x,y,z$ 都是整数, $x<y<z,y−x=z−y$
• $color_x=color_z$

满足上述条件的三元组的分数规定为 $(x+z)∗(number_x+number_z)$。

整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。

这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分数除以 $10,007$ 所得的余数即可。

输入格式
第一行是用一个空格隔开的两个正整数 $n$ 和 $m$，$n$ 代表纸带上格子的个数，$m$ 代表纸带上颜色的种类数。

第二行有 $n$ 个用空格隔开的正整数，第 $i$ 个数字 $number_i$ 代表纸带上编号为 $i$ 的格子上面写的数字。

第三行有 $n$ 个用空格隔开的正整数，第 $i$ 个数字 $color_i$ 代表纸带上编号为 $i$ 的格子染的颜色。

输出格式
共一行，一个整数，表示所求的纸带分数除以 $10,007$所得的余数。

数据范围
$1≤n,m≤10^5,1≤number_i≤10^5$,
$1≤color_i≤m$

输入样例：

6 2
5 5 3 2 2 2
2 2 1 1 2 1

输出样例：

82

二、暴力枚举

$40$分 $O(n^2)$

三元组：$(x, y, z)$要求满足以下两个条件：

• $x,y,z$ 都是整数, $x<y<z,y−x=z−y$
• $color_x=color_z$ 那么：$x+z=2y$。由此可以枚举$x$和$y$的值，如果颜色相同，累加分值即可。

时间复杂度
$O(n^2)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010, mod = 10007;

int a[N], color[N];

int main() {
    int n, m; // 纸带上格子的个数,纸带上颜色的种类数
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];     // 纸带上编号为 i 的格子上面写的数字
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> color[i]; // 纸带上编号为 i 的格子染的颜色

    int res = 0;
    for (int x = 1; x <= n; x++) {
        for (int y = x + 1; 2 * y - x <= n; y++) { // 因为y>=x+1,并且z<=n
            int z = 2 * y - x;
            if (color[x] == color[z]) // 如果color[x]=color[z]
                res = (res + (2 * y) % mod * (a[x] + a[z]) % mod) % mod;
        }
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

三、优化

读题，我们发现完全可以暴力$O(n^{3})$

那这必然过不了

观察题目，对式一进行移项，发现$x+z=2y$

于是我们便可以枚举$x,z$或$y$

当然这个复杂度也是过不了的

做到这个地步，我们似乎基本没有用到颜色

于是我们便可以向颜色上靠，可以利用 分组 的思想，将同一颜色分成一组，又根据$x+z=2y$

可以 把相同颜色的分为奇偶两组

$Q$:怎么得出最后答案呢?

我们可以对分数的计算：$(x+z)*(number_{x}+number_{z})$ 进行一定的处理(数学变形)

• 设$c[i]$为第$i$个格子的颜色
• $cnt[c[i]][i\%2]$为颜色为$c[i]$的两个奇偶分组中数字个数

设$x_i$为下标，$w_i$为值

$ans=(x_1+x_2)(w_1+w_2)+(x_1+x_3)(w_1+w_3)+…+(x_1+x_n)(w_1+w_n) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x_2+x_3)(w_2+w_3)+(x_2+x_4)(w_2+w_4)+…+(x_2+x_n)(w_2+w_n)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x_3+x_4)(w_3+w_4)+…+(x_3+x_n)(w_3+w_n)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +… \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x_{n−1}+x_n)(w_{n−1}+w_n)$

将有关$x_1$的式子 提出来找规律

$(x_1+x_2)*(w_1+w_2) +(x_1+x_3)*(w_1+w_3)...+ (x_1+x_n)*(w_1+w_n)$

注：共$n-1$项

乘出来
$x_1 * w_1 + x_1 * w_2 +x_2 * w_1+x_2 * w_2+ \\ x_1 * w_1 + x_1 * w_3 +x_3 * w_1+x_3 * w_3+ \\ ... \\ +x_1 * w_1+ x_1*w_n+x_n*w_1+x_n*w_n$

将有关$x_1$的式子提出来

$x_1*w_1+x_1*w_2+...+x_1*w_1+x_1*w_n$

$=(n-1)*x_1*w_1+x_1*(w_2+w_3+...+w_n)$

将这个式子
$+x_1*w_1-x_1*w_1$
得

$\displaystyle \ \ \ \ \ \ (n-2)*x_1*w_1+x_1*(w_1+w_2+w_3+...+w_n) \\ = x_1*((n-2)*w_1+(w_1+w_2+w_3+...+w_n)) \\ = x_1*[(n-2)*w_1+\sum_{i=1}^nw_i]$

显然$\displaystyle \sum_{i=1}^nw_i$可以预处理出来。
这个 $n-2$是什么呢？$n$应该是该分组中数字的总个数,这个也可以预处理出来~

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010, mod = 10007;

int w[N]; // 第i个格子的数字
int c[N]; // 第i个格子的颜色
int s[N][2];
// s[i][0]:颜色为i、编号为偶数格子上数字的和
// s[i][1]:颜色为i、编号为奇数格子上数字的和

int cnt[N][2];
// cnt[i][0]:颜色为i、编号为偶数格子的个数
// cnt[i][1]:颜色为i、编号为奇数格子的个数

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i]; // 第i个格子的数字
    // 预处理
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历每个格子
        cin >> c[i];               // 格子颜色c[i]
        /*
        装入不同的组中,组划分是两个规则：
        ① 颜色必须相同
        ② 奇偶性必须相同
        所以，c[i]相同的放到同一个颜色组内，并且，在同一个颜色组内，奇偶数还必须相同。

        s[][]:随着i的不断向后遍历，s中记录了相同颜色，相同奇偶性的格子，数字的累加和
        cnt[][]:记录每个分组中的格子个数
        */
        s[c[i]][i % 2] = (s[c[i]][i % 2] + w[i]) % mod; // 累加分组内数字和
        cnt[c[i]][i % 2]++;                             // 维护分组内格子个数
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举每个格子
        /*
        Q:这个格子在哪个分组里呢？
        答：
        (1) c[i] : 按颜色划分
        (2) i % 2 : 按奇偶性划分

        Q:这个分组中格子的数量是多少呢？
        答： cnt[c[i]][i % 2]

        */
        ans = (ans + i * ((cnt[c[i]][i % 2] - 2) * w[i] % mod + s[c[i]][i % 2])) % mod;

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}