P2345 奶牛集会

$P2345$ 奶牛集会

一、题目描述

约翰的$N$头奶牛每年都会参加 哞哞大会。哞哞大会是奶牛界的盛事。集会上的活动很多，比如堆干草，跨栅栏，摸牛仔的屁股等等。它们参加活动时会聚在一起，第$i$头奶牛的坐标为$X_i$，没有两头奶牛的坐标是相同的。奶牛们的叫声很大，第$i$头和第$j$头奶牛交流，会发出$max(V_i,V_j) × |X_i−X_j|$ 的音量，其中$V_i$ 和$V_j$ 分别是第$i$ 头和第$j$,头奶牛的听力。假设每对奶牛之间同时都在说话，请计算所有奶牛产生的音量之和是多少。

$Input$
第一行：单个整数$N$

第二行到第$N+1$ 行：第$i+1$ 行有两个整数$V_i$和$X_i$。

$Output$
单个整数：表示所有奶牛产生的音量之和

$Sample$ $Input$

4
3 1
2 5
2 6
4 3

$Sample$ $Output$

57

$Hint$
所有数据≤ $20000$

二、解题思路

首先分析一下式子$max\{V_i,V_j\}×|X_i − X_j|$

想办法化简公式，去掉原公式中的$max$和绝对值符号。

1. 将每头奶牛按听力$V_i$由小到大进行排序，那么当走到第$i$头牛时，它与前$i-1$头牛的$\displaystyle \large \max_{j<i}(V_i,V_j)=V_i$,这样就成功去掉了最左侧的$max\{V_i,V_j\}$
2. $|X_i − X_j|$这个分两种情况:
   • $X_i>X_j$,转换为$X_i-X_j$
   • $X_i<X_j$,转换为$X_j-X_i$
3. $\large \displaystyle \sum max\{V_i,V_j\}×|X_i − X_j|$
   • 第$i$头牛的$v_i$ * (它之前牛的个数 * 它的坐标 - 它之前所有牛的坐标和)
   • 第$i$头牛的$v_i$ * (它之后所有牛的坐标和 - 它之后牛的个数 * 它的坐标）

第$i$头牛和其他的牛发出的声音 = ① + ②

对于牛在某个坐标区间内的个数和牛的坐标和，我们可以用两个树状数组来维护。

三、$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20010;

// 听力值v,坐标x

// 结构体+第一维、第二维由小到大排序
struct Node {
    int v, x;
    const bool operator<(const Node &t) const {
        if (v == t.v) return x < t.x;
        return v < t.v;
    }
} a[N];

// 树状数组模板
int c1[N], c2[N];

#define lowbit(x) (x & -x)

void add(int c[], int x, int v) {
    while (x < N) c[x] += v, x += lowbit(x);
}

int sum(int c[], int x) {
    int res = 0;
    while (x) res += c[x], x -= lowbit(x);
    return res;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("P2345.in", "r", stdin);
#endif

    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d %d", &a[i].v, &a[i].x);

    sort(a + 1, a + n + 1); // 排序

    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // c1:坐标和树状数组
        // c2:牛的个数
        LL s1 = sum(c1, a[i].x - 1);              // a[i]进入树状数组时，它前面所有牛的坐标和
        LL s2 = sum(c1, 20000) - sum(c1, a[i].x); // a[i]进入树状数组时，它后面所有牛的坐标和

        LL cnt = sum(c2, a[i].x);
        /*
        cnt:它之前牛的个数
        i-1-cnt:它之后牛的个数
        a[i].x：它的坐标
        */

        // 方法1：cout << "i=" << i << ",sum(c2,N)=" << sum(c2, N) << endl;
        res += a[i].v * (cnt * a[i].x - s1 + s2 - (sum(c2, N) - cnt) * a[i].x);

        //  方法2：
        // res += a[i].v * (cnt * a[i].x - s1 + s2 - (i - 1 - cnt) * a[i].x);

        add(c1, a[i].x, a[i].x); // 维护坐标前缀和
        add(c2, a[i].x, 1);      // 维护个数前缀和
    }
    // 输出结果
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}