POJ 3041 Asteroids

$POJ$ $3041$ $Asteroids$

一、题目大意

($Bessie$希望通过一个$N * N$网格$(1 <= N <= 500)$形状的危险小行星场导航她的宇宙飞船。

网格包含$K$个小行星$(1 <= K <= 10,000)$，它们方便地位于网格的格点处。

幸运的是，$Bessie$拥有一种强大的武器，可以通过一次射击在网格的任何给定行或列中蒸发所有小行星。这种武器非常昂贵，所以她希望谨慎使用它。给出所有小行星的位置。现场，找到$Bessie$需要射击以消灭所有小行星的最小射击次数。)

输入

3 4
1 1
1 3
2 2
3 2

输出

2

二、思路:

• ① 建立一个二分图，两边的点分别是横坐标和纵坐标，网格上出现的点$(x,y)$表示二分图左边的$x$可以和右边的$y$匹配

• ② 当我们选择左边图的一个点$x$清除时，实际上就是把横坐标为$x$的点清除，那么与该点$x$匹配的右边图的所有点也会被一起清除，选择右边点$y$清除同理

• ③ 现在问题转换成了想要覆盖所有边的最少点数，即：二分图的最小匹配点数

三、总结

• 最小点覆盖 = 最大匹配

  • 最大匹配：在二分图中最多能找到多少条没有公共端点的边
  • 最小点覆盖：选择最少的点使得所有边都至少有一个端点被选中了，倒过来说就是，删除包含这些点的边，可以删掉所有边。点集里面的点能覆盖所有的边

• 最小边（路径）覆盖
  实质是个边集，这个集合里的边能覆盖所有的点，二分图中 补图的最大团=最大独立点集=最小边覆盖=所有顶点数（男孩和女孩）- 最小点覆盖（最大匹配）

三、代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 550;

int g[N][N]; // 地图
int n, m;

// 匈牙利
int st[N], match[N];
int dfs(int u) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (g[u][i] && !st[i]) { // u->i有边
            st[i] = 1;
            if (match[i] == -1 || dfs(match[i])) {
                match[i] = u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main() {
#ifndef ONa_JUDGE
    freopen("POJ3041.in", "r", stdin);
#endif
    memset(g, 0, sizeof g);
    memset(match, -1, sizeof match);
    scanf("%d%d", &n, &m);

    while (m--) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        g[x][y] = 1;
    }

    // 匈牙利
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        memset(st, 0, sizeof st);
        if (dfs(i)) res++;
    }
    // 输出
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}