POJ 3692 Kindergarten
\(POJ\) \(3692\) \(Kindergarten\)
一、题目大意
在幼儿园中,有许多小孩。其中有男孩,也有女孩。女孩之间相互认识,男孩之间也相互认识。同时,一些男孩和女孩之间也相互认识,有一天,老师希望从所有人之中选出一些人来玩游戏,这个游戏需要所有的参与者之间相互认识,问老师可以最多找出多少人来玩这个游戏。
二、思路分析
拿到题首先想到了二分图匹配+并查集,\(however\) 认识的关系不是传递的,所以 集合 (并查集)不合适。
但这道题显然是一个匹配的问题,一般图的匹配往往十分复杂,即使\(ACM\)大赛也很少出,或者可以 将其转化为二分图。
这道题里如果我们将男,女分成两部分,认识作为边,不能满足二分图的条件,因为 男-男,女-女都是相互认识的,同一边的点,应该彼此没有关系才能是二分图,需要进行转换。
最简单的转化方式即 认识的没有边,不认识的有边,此时构成一个二分图,我们把样例画出来分析一下:
注:创建补图
2 3 3
1 1
1 2
2 3
这个图和我们的结果有什么关系呢?可以看出他的最大匹配数是\(2\),我们要求的是什么?是一个点集,集合中任意两个点都不相连(也就是 任意两个点相互认识),在二分图中称之为 最大独立点集,其值等于 点数-最大匹配数,这张图中就是\(5-2=3\),也就是最多是\(3\)个人组成的团队彼此之间都认识。
注:这\(3\)人团队怎么组成呢?答:全部女生:\(1',2',3'\)。
为了更直观的论证他的正确性,不妨在考虑两个特殊情况
-
左图,任意两点都认识,该图的最大匹配数是\(0\),所以\(5-0=5\)个点可以选
-
右图,每个男生都相互认识,每个女生都相互认识,但任何一个男生和女生都不认识,此时最大匹配数是\(2\),有\(3\)个点可以选?\(5-2=3\),这三个点即三个女生。
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
/*
一群男孩女孩,同性之间都相互认识,但是异性之间只有某些人认识彼此。给出相互认识的异性的各自编号。
求组成一个小队,这个小队里的人都相互认识。问这个小队最多能有多少人。
把相互不了解的人作为边构建二分图,这样题意是选择相互了解的人,那么是选择二分图的最大独立集,
即总端点数-最大匹配(最小点覆盖)
*/
const int N = 210;
int g[N][N];
int n, m, e;
int match[N], st[N]; // match表示女生喜欢的男生,st表示女生是否被匹配到
int dfs(int u) {
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (!g[u][i] && !st[i]) {
st[i] = 1;
if (match[i] == -1 || dfs(match[i])) {
match[i] = u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main() {
int cas = 0;
while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &e)) {
cas++;
if (n == 0 && m == 0 && e == 0) break;
// 初始化匈牙利算法匹配数据
memset(match, -1, sizeof match);
// 邻接矩阵
memset(g, 0, sizeof g); // g[i][j]=1:表示i与j互相了解
while (e--) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
g[a][b] = 1;
}
int ans = 0;
// 枚举集合A中的点,n为集合A中点的个数,即男生的个数
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 这里每次都需要全部清0
memset(st, 0, sizeof st);
if (dfs(i)) ans++;
}
// 最大独立集
printf("Case %d: %d\n", cas, n + m - ans);
}
return 0;
}