POJ 3692 Kindergarten

$POJ$ $3692$ $Kindergarten$

一、题目大意

在幼儿园中，有许多小孩。其中有男孩，也有女孩。女孩之间相互认识，男孩之间也相互认识。同时，一些男孩和女孩之间也相互认识，有一天，老师希望从所有人之中选出一些人来玩游戏，这个游戏需要所有的参与者之间相互认识，问老师可以最多找出多少人来玩这个游戏。

二、思路分析

拿到题首先想到了二分图匹配+并查集，$however$ 认识的关系不是传递的，所以 集合 （并查集）不合适。

但这道题显然是一个匹配的问题，一般图的匹配往往十分复杂，即使$ACM$大赛也很少出，或者可以 将其转化为二分图。

这道题里如果我们将男，女分成两部分，认识作为边，不能满足二分图的条件，因为 男-男，女-女都是相互认识的，同一边的点，应该彼此没有关系才能是二分图，需要进行转换。

最简单的转化方式即 认识的没有边，不认识的有边，此时构成一个二分图，我们把样例画出来分析一下：

注：创建补图

2 3 3
1 1
1 2
2 3

这个图和我们的结果有什么关系呢？可以看出他的最大匹配数是$2$，我们要求的是什么？是一个点集，集合中任意两个点都不相连（也就是 任意两个点相互认识），在二分图中称之为 最大独立点集，其值等于 点数-最大匹配数,这张图中就是$5-2=3$,也就是最多是$3$个人组成的团队彼此之间都认识。

注：这$3$人团队怎么组成呢？答：全部女生：$1',2',3'$。

为了更直观的论证他的正确性，不妨在考虑两个特殊情况

• 左图，任意两点都认识，该图的最大匹配数是$0$，所以$5-0=5$个点可以选

• 右图，每个男生都相互认识，每个女生都相互认识，但任何一个男生和女生都不认识，此时最大匹配数是$2$，有$3$个点可以选？$5-2=3$,这三个点即三个女生。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
/*
一群男孩女孩，同性之间都相互认识，但是异性之间只有某些人认识彼此。给出相互认识的异性的各自编号。
求组成一个小队，这个小队里的人都相互认识。问这个小队最多能有多少人。

把相互不了解的人作为边构建二分图，这样题意是选择相互了解的人，那么是选择二分图的最大独立集，
即总端点数-最大匹配（最小点覆盖）
*/
const int N = 210;
int g[N][N];
int n, m, e;

int match[N], st[N]; // match表示女生喜欢的男生，st表示女生是否被匹配到
int dfs(int u) {
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (!g[u][i] && !st[i]) {
            st[i] = 1;
            if (match[i] == -1 || dfs(match[i])) {
                match[i] = u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
    int cas = 0;
    while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &e)) {
        cas++;
        if (n == 0 && m == 0 && e == 0) break;
        // 初始化匈牙利算法匹配数据
        memset(match, -1, sizeof match);

        // 邻接矩阵
        memset(g, 0, sizeof g); // g[i][j]=1:表示i与j互相了解
        while (e--) {
            int a, b;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            g[a][b] = 1;
        }

        int ans = 0;
        // 枚举集合A中的点，n为集合A中点的个数，即男生的个数
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 这里每次都需要全部清0
            memset(st, 0, sizeof st);
            if (dfs(i)) ans++;
        }
        // 最大独立集
        printf("Case %d: %d\n", cas, n + m - ans);
    }
    return 0;
}