POJ 1548 Robots

\(POJ\) \(1548\) \(Robots\)

题意

相当于给出\(N\)个坐标点，因为机器人只能向下或者向右走，所以如果能到达其他点，则连接这两个点，即line[i][j]=1

最小路径覆盖数:
对于一个\(DAG\)（有向无环图），选取最少条路径，使得每个 顶点属于且仅属于一条路径。路径长度可以为零；（有向图中找一些路径，使之覆盖了图中的所有顶点，就是任意一个顶点都跟那些路径中的某一条关联，且任何一个顶点有且只有一个与之关联）

最小路径覆盖数（最少边覆盖）=顶点数-最大匹配数；
思路：把每个点都拆成两个点，分为入点和出点，如果 \(u\) 到 \(v\) 有边，那么我们就让 \(u\) 的入点连向 \(v\) 的出点 ， 匈牙利算出最大匹配。

解答：
最小路径覆盖的话非常简单，这题显然可以转化为\(DAG\)。要注意类似\(floyd\)求传递闭包的办法，排序后把符合条件的全部建边！

不过也可以使用\(LIS\)，运用\(dilworth\)定理，也就是求最长反链的长度。也就是求最长下降子数列的长度

二分图建边+匈牙利算法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
#define x first
#define y second
// 链式前向星
const int N = 1010, M = N * N;

int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

// 匈牙利算法
int st[N], match[N];
int dfs(int u) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (st[v] == 1) continue;
        st[v] = 1;
        if (match[v] == -1 || dfs(match[v])) {
            match[v] = u;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("POJ1548.in", "r", stdin);
#endif
    int a, b;
    while (true) {
        // 初始化匈牙利算法的数组
        memset(match, -1, sizeof match);
        memset(st, 0, sizeof st);

        // 初始化链式前向星
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;

        vector<PII> vec;
        while (true) {
            cin >> a >> b;
            if (a == 0 && b == 0) break;
            if (a == -1 && b == -1) exit(0);
            vec.push_back(make_pair(a, b)); // POJ太老了，我喜欢用vec.push_back({a,b});但它不认识
        }

        // 按x1<=x2,y1<=y2逻辑进行排序
        // 总结：给了一大堆点，我们需要按一定顺序进行排序，然后再枚举遍历。一般的排序办法就是PII的默认排序办法
        sort(vec.begin(), vec.end());

        /* 每个机器人可以从左->右，上->下,走完就废。
         我们上面进行了排序，是按x1<=x2,y1<=y2排序的，但可能出现(x2>x1,y2<y1)的情况，也就是后面的行，但列在前面
         这是不符合题意的，不能连边，需要判断一下,即y要非单调上升，也就是y2>=y1
        */
        for (int i = 0; i < vec.size(); i++)
            for (int j = i + 1; j < vec.size(); j++)
                if (vec[j].y >= vec[i].y) add(i, j);
        // 记录哪个点有出边,这个建边，是不是类似于floyd求传递闭包？多么痛的领悟！

        // 匈牙利算法
        int res = 0;

        /* 注意：这里需要枚举的上限是vec.size()!原因是上面我们建边时用的是add(i,j),也就是在链式前向星中保存的是原始点集中的点号！一开始黄海错误的把下面的循环终止条件写成了i<=idx,结果TLE，这是不对的！有两个原因：
           ① 因为除非你在建图时使用了离散化，否则点号不全！！因为有的点号因为不符合vec[j].y>=vec[i].y的条件，也就是在
           下一行的左侧，被排除掉了，但它的号被占着呢！
           ② idx是边数，不是点数，SB到家了！

           我又写了一个离散化后的版本，但代码太长了，不好玩，不如直接枚举vec.size()来的快，这样，即使有的点不符合条件，也就没有出边，不影响结果！
           代码短的多！
        */

        for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
            memset(st, 0, sizeof st);
            if (dfs(i)) res++;
        }
        // 最小路径覆盖数 = 节点总数 - 最大匹配数
        printf("%d\n", vec.size() - res);
    }
    return 0;
}

离散化后的版本

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
#define x first
#define y second

const int N = 1010, M = N * N;

int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int st[N], match[N];
int dfs(int u) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (st[v] == 1) continue;
        st[v] = 1;
        if (match[v] == -1 || dfs(match[v])) {
            match[v] = u;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("POJ1548.in", "r", stdin);
#endif
    int a, b;
    while (true) {
        memset(match, -1, sizeof match);
        memset(st, 0, sizeof st);

        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;

        vector<PII> vec;
        while (true) {
            cin >> a >> b;
            if (a == 0 && b == 0) break;
            if (a == -1 && b == -1) exit(0);
            vec.push_back(make_pair(a, b));
        }

        sort(vec.begin(), vec.end());

        vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
        for (int i = 0; i < vec.size(); i++)
            for (int j = i + 1; j < vec.size(); j++)
                if (vec[j].y >= vec[i].y) alls.push_back(i), alls.push_back(j);

        // 将所有值排序
        sort(alls.begin(), alls.end());
        // 去掉重复元素
        alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

        // 重新捋着建边，通过二分查找，找出新的序号，这样就可以使用i<=alls.size()了！
        for (int i = 0; i < vec.size(); i++)
            for (int j = i + 1; j < vec.size(); j++)
                if (vec[j].y >= vec[i].y) {
                    int x = lower_bound(alls.begin(), alls.end(), i) - alls.begin();
                    int y = lower_bound(alls.begin(), alls.end(), j) - alls.begin();
                    add(x, y);
                }

        int res = 0;

        for (int i = 0; i < alls.size(); i++) {
            // 最开始黄海SB的以为二分后，这里可以使用i<idx做为终止条件，其实是SB到家了！idx是边数，是边数，是边数！
            // 不是点数，不是点数，不是点数！
            memset(st, 0, sizeof st);
            if (dfs(i)) res++;
        }

        printf("%d\n", vec.size() - res);
    }
    return 0;
}

\(LIS+Dilworth\)定理

其实也可以用\(LIS\)来解决。把所有点按第一关键字\(x\)，第二关键字\(y\)从小到大排序。
则从\(1\sim n\)的点已经满足了第一维，从\(i->j(i< j)\)只需要满足\(a[i].y<=a[j].y\)即可。

例如样例就是\(4 \ 4 \ 6 \ 4 \ 7\).根据题意，这个偏序集的链是一个不降序列。
我们现在就是要求这个偏序集的最小链划分数（也就是图中的最小链覆盖数），
根据\(Dilworth\)定理，也就是求最长反链的长度。也就是求最长下降子数列的长度。可以\(dp\)解决。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
#define x first
#define y second

const int N = 600;
int ans, f[N];
PII a[N];

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("POJ1548.in", "r", stdin);
#endif
    while (true) {
        memset(f, 0, sizeof f);
        ans = 0;
        int al = 0;
        while (true) {
            int x, y;
            scanf("%d %d", &x, &y);
            if (x == -1) exit(0);
            if (x == 0) break;
            a[al++] = make_pair(x, y);
        }

        sort(a, a + al);

        // LIS
        for (int i = 0; i < al; i++)
            for (int j = 0; j < i; j++)
                if (a[j].y > a[i].y) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
        // Dilworth
        for (int i = 0; i < al; i++) ans = max(ans, f[i]);
        printf("%d\n", ans + 1);
    }
    return 0;
}